(
课件网) 24.1.4 圆内接多边形 圆的有关性质 知识回顾 1.圆周角定义 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆相交的角.（二者必须同时具备）. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该圆弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. 2.圆周角定理 学习目标 1.掌握圆内接四边形及其对角的性质. 2.掌握圆内接四边形外角的性质. 课堂导入 观察下面的图形，图中的多边形与圆有什么位置关系？ 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知识点1 新知探究 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 知识点1 新知探究 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180?， ∠B+ ∠D=180?. 知识点1 新知探究 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 如何证明你的猜想呢？ 圆的内接四边形的对角互补. 知识点1 新知探究 C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 知识点1 新知探究 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 跟踪训练 新知探究 如图所示，四边形ABCD为 ⊙O 的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( ) A.80° B.120° C.100° D.90° B 解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°-∠BCD=60°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°． 随堂练习 1 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.AB与DC的延长线交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50° ，则∠DBC的度数为( ) C A.50° B.60° C.80° D.90° 解：延长AE交⊙O于点F， ∵AE⊥CD，∴ ， ∴∠DBC=2∠DAF， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADE=∠GBC=50°， ∴∠DAF=40°， ∴∠DBC=2∠DAF=80°. F 随堂练习 2 如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，点 D 是 的中点，点 E 是 上的一点，若 ∠CED=40°，则∠ADC=_____度 . 解：如图，连接 AE， ∵点 D 是 的中点， ∴∠AED=∠CED， ∵∠CED=40°， ∴∠AEC=2∠CED=80°， ∵四边形 ADCE 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠ADC=180°-∠AEC=100°. 100 如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =2则AE2 +BE2的值为( ) A.8 B.12 C.16 D.20 随堂练习 3 解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°， ∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°， ∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， 又∵EF是⊙O的直径， ∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE， ∵四边形BECF是⊙O的内接四边形， ∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BCF (ASA)， ∴AE=BF， ∵在Rt△ECF中，CF=2，∠EFC=45°，∴EF2=16， 则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16. 随堂练习 3 如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =2则AE2 +BE2的值为( ) C 课堂小结 圆内接四边形的角的“三种关系”： 1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°. 3.任一外角与 ... ...
