中小学教育资源及组卷应用平台 专题03 菱形 【专题解读】菱形既是轴对称图形，可以把菱形看成是由等腰三角形沿底边翻折而成：菱形又是中心对称图形，可以看成是由直角三角形以直角顶点为对称中心旋转180°而成，所以在处理菱形类问题时，等腰三角形和直角三角形的图形特征往往是我们尝试的突破口。 思维索引 例1.（1）如图1，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A=60°，连结DF，则DF的长为_____ （2）如图2是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角（∠0）为60°， △ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为_____ （3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC 于点F，则EF的长为_____. (4）如图4，F是萎形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠l=∠2，则下列结论：①AE=BE；②BF⊥AD；③AC=2BF；④CE=BF+BG.其中正确的结论是_____ 例2.将矩形OABC如图所示放置在第一象限，点B的坐标为（3，4），一次函数y=-+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点。 （1）求b的值； （2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是萎形，求点N的坐标。 素养提升 1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于 （ ） A.15° B.25° C.45° D.55° 2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE，连接AE， 交OD于点F.若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF=120°，则线段EF的长度的整数值的个数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论： ①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A， 其中一定正确的结论是( ) A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 5.如图，A、B两点的坐标分别为（6，0）、（0，6），连结AB.点P从点A出发，沿AB方向以每秒 个单位的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿B0方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，将△PQ0沿B0翻折，记点P的对应点为点C，若四边形QPOC为菱形，则点C的坐标为_____. 6.我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）.已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m，则m的取值范围是_____. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠A0C=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形，则点B的对应点的坐标为_____. 8.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论： ①△ABD≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④ 其中正确结论的是_____（填写序号）. 9.在如图直角坐标系内，四边形AOBC是边长为2的菱形，E为边0B的中点，连结AE与对角线OC交于点D，且∠BCO=∠EA0，求点D坐标. INCLUDEPICTURE \d "96afd28a1116c1bedce8edbc755bbb06" \ MERGEFORMATINET 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点才作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BC、DF.若CF=6，AC=AF+2，求四边形BDFG的周长. INCLUDEPICTURE \d "8a74d675afd6824af855eec4e06e9371" \ MERGEFORMATINET 11.如图1，矩形OABC ... ...
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