中小学教育资源及组卷应用平台 专题05 对称的三角形 【专题解读】等腰三角形、等边三角形都具有轴对称性，这些性质为我们解决问题提供了理论依据，寻找、构造对称的三角形是解决一些几何问题的关键．常见的构造等腰三角形的方法有：①角平分线＋平行线；②角平分线＋垂线；③垂直平分线等． 思维索引 例1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为1cm/s．设运动的时间为t（s）． （1）若点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ①点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ ②点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？ （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？若存在，请求出此时M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 答案：（1）①12；②4；（2）16； 例2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交AC于点E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ； （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 答案：（1）△ACD是直角三角形；（2）60°或105° 素养提升 1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 答案：C （第1题） （第2题） （第4题） （第5题） 2．如图，D为BC上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2的关系是( ) A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90° C．∠1＋3∠2＝180° D．3∠1－∠2＝180° 答案：D 3．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 4．如图，D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则( ) A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当为定值时，∠CDE为定值 C．当为定值时，∠CDE为定值 D．当为定值时，∠CDE为定值 答案：B 5．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°； ②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④＝S四边形AOCP．其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 6．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为 ． 答案：4cm2 （第6题） （第7题） （第8题） 7．如图，在等边△ABC中，AB＝5，在AB边上有一点P，过点P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN⊥AC，垂足为N，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q．当PQ＝1时，BP＝ ． 答案：或 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是 cm． 答案：8 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为 ． 答案：50°或130° 10．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC＝ ． 答案：45° 11、如图，在凸五边形ABCDE中，，，，M为CD的中点. 求证：. 答案：略 12、如图,在中,AB=AC,P为内一点,且, ， （1）求证：是等腰三角形； （2）连接PC,当时，求的度数。 答案：（1）略 （2）∠PBC=10° 13、在等边中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.试探索以下问题： （1）如图1,当点E为AB的中点时, AE与DB的大小关系：AE___?DB(填“>”“<”或“=”). （2）如图2，当点E为AB上任意一点时， 确定线段AE与DB的大小关系，并给出证明。 （3）在等边中，点E在直线AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，若的边长为1，AE=2， ... ...
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