中小学教育资源及组卷应用平台 专题15 美丽的对称性再探 【专题解读】线段、角是最简单的轴对称图形,我们在研究它们的轴对称性时,除了运用他们的性质→抓其“神”,同时要注重与等腰三角形等轴对称图形结合→抓其“形”,再利用与勾股定理以及方程思想进一步挖据条件,为解决与图形有关的问题提供必要延展性 思维索引 例1.如图,正方形ABCD的边长为4,E是CD的中点,点F在BC上,且AE平分∠DAF （1）求证:AF=AD+CF （2）求FC的长 答案：（1）略；（2）FC=1 例2.在平面直角坐标系中,点A(0,2),在x轴上任取一点M,连接AM,作AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，与交于点P.设P点的坐标为（x,y） （1）当M的坐标取(3,0)时,点P的坐标为_____. （2）求x,y满足的关系式 （3）是否存在点M,使得△MPA恰为等边三角形?若存在,求点M的坐标:若不存在,说明理由. 答案：（1）（2）；（3）存在,或 素养提升 1.在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,CB=CD.现有三个结论:①AB=AD;②∠B=∠D③线段AC垂直平分线段BD.其中一定正确的结论有 （ ） A.1个 B.2个 C.1个 D.0个 答案：D 2,如图,在△ABC中AB的垂直平分线DE与AC相交于点E,与AB相交于点D,∠AED=30°,AG平分∠BAC交DE于点G,AD=4cm,连接BE,下列说法中不正确的是 （ ） A.DG=2cm B.BE=8cm C.AE=BE D. AG=EG 答案：A 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=225°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=1,则BE的长是（ ） A.3 B. C.2 D.6 答案：B 4.如图,在△ABC中,作AB、AC的垂直平分线,分别交直线BC于点D、点E,连接AD、AE,若∠DAE=82°,则∠BAC的度数为 （ ） A.41° B.49° C.52° D.54° 答案：B 5.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD-AH=AB:④DG=AP+GH其中正确的是 （ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 答案：A 6.如图,AD与BE是△ABC的角平分线,点D,E分别在BC,AC上,若AD=AB,且BE=BC,则∠C为_____°. 答案： 7.如图,△ABC中,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,∠A=∠ABE.若AC=5cm,BC=3cm,则BD的长为_____cm. 8. 在中，，，的平分线交于，平分交于，连接，于，则 ． 答案：30 9.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E,G两点CE,BG相交于点O,若AB=3,BC=4,则OE?+OG?= 答案：4 10.如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.AB=12,AP=4,则线段BH的长为_____. 答案： 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点 D，AM交BE于点G． （1）求证：∠BAM＝∠C； （2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由． 答案：（1）略；（2）BE垂直平分AD 12. 如图，已知一次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，2）． （1）求一次函数的关系式； （2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标． 答案：（1）y＝2x+2；（2）C（，0）． 13. 如图，已知一次函数与两坐标轴分別交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，连接AP，设运动时间为ts（t＜4）. （1）当t为何值时，PA平分∠AOB； （2）作△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为6？并直接写出此时Q的坐标． 答案：（1）；（2）， 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD． （1）求证：BE＝AD； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线： （3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由． 答案：△DBC是等腰三角形 15.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,AD=8cm,BC=11cm,点P ... ...
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