2020年中考数学冲刺难点突破——专题三二次函数中的相似三角形综合问题 (原卷+解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题 专题三 二次函数中的相似三角形综合问题 1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上． ①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）. 【分析】（1）应用待定系数法问题可解； （2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等 ②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解 【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得 ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3； （2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等， 当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等， ∴tan∠QAP=tan∠DCO， ， ∴， ∴OD=， ∴点D坐标为（-，0）. 由对称性，当点D坐标为（，0）时， 由点B坐标为（4，0）， 此时点D（，0）在线段OB上满足条件． ②∵OC=3，OB=4， ∴BC=5， ∵∠DCB=∠CDB， ∴BD=BC=5， ∴OD=BD-OB=1， 则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5， 连DN，CM， 则DN=DM，∠NDC=∠MDC， ∴∠NDC=∠DCB， ∴DN∥BC， ∴， 则点N为AC中点． ∴DN时△ABC的中位线， ∵DN=DM=BC=， ∴OM=DM-OD= ∴点M（，0） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合 2、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点. （1）求的值； （2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标； （3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析. 【思路引导】 （1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值； （2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标； （3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可. 【解析】 解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴， ∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴ ∴将点代入函数表达式得：，∴； （2）设， ①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴； ②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴； （3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°， 由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：， 联立方程组：，解得：，，∴， ∵，， ∴，∴不存在； ②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：， 联立方程组：，解得：，，∴， ∵，， ∴，∴不存在. 综上所述，不存在满足条件的点，使∽. 【方法总结】 本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图 ... ...