中小学教育资源及组卷应用平台 专题15 探索性问题 三.解答题 1.（2020·台州市）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴BO＝CO， ∴△BOC是等腰三角形． 1.（2020·绍兴市）问题：如图，在中，．在的延长线上取点，，作，使，若，，求的度数． 答案：． 思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由； （2）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数． 【解析】解：（1）的度数不会改变； ， ，① ， ， ，② 由①，②得，； （2）设， 则，， ， ， ， ． 2.（2020·嘉兴市）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 【分析】【思考】 由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论； 【发现】 连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出； 【探究】 如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证． 【解析】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OE， 设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4）， ∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x， 在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2， ∴， 解得：x＝， ∴AF＝cm． 【探究】BD＝2OF， 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA， ∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°， ∴∠ABD+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∴∠OHE＝∠ODB， ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF＝∠HEF， ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA）， ∴EO＝EH，FO＝FH， ∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB， ∴△EOH≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OH＝2OF． 1.（2020·湖州市）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为．过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结，，和． （1）如图1，当轴时， ①已知点的坐标是，求抛物线的解析式； ②若四边形是平行四边形，求证：． （2）如图2，若，，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解 ... ...
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