二次根式 知识点回顾： 平方根的定义： 一般地一个数的平方根等于a,那么这个数叫a的平方根或二次方根。也就是说如果：，那么x叫做a的平方根。 我们把正数a的平方根用±来表示，读作正，负根号a。并且一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，我们把负的平方根（-）叫做a的算术平方根。（负数没有平方根，0的平方根是它本身。） 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。我们知道±3的平方等于9,9的平方根等于±3，所以平方与平分根互为逆运算。根据这个关系可以求一个数的平方根。 代数式的定义： 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 用“＝”“≠”“＜”或“＞”连接的式子都不是代数式. 今天要讲的二次根式是代数式的一种。 二次根式的概念： 形如（a≥0）的式子叫做二次根式。可以理解为a的算术平方根，其中a为被开方数。 注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是为二次根式的前提条件，如， ，等是二次根 式，而，等都不是二次根式。 二次根式的取值范围： 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.?二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 二次根式的双重非负性： （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（） 二次根式的性质： 文字表达：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 如：，。 二次根式的性质： 文字表达：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 比较 与异同点： 不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是一切实数。相同点：与都是非负数，即，。 二次根式的乘除 二次根式的乘除法： 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． 逆运算：=·（a≥0，b≥0） （b≥0，a>0）． （用它可以对二次根式进行化简） （用它可以去掉根号里面的分母） 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： （1）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母；（分母可能是一个具体数，也可能是一个未知数） （3）分母中不含根式。 注意： 对于（2） 对于（3）也叫分母的有理化： 分母的有理化： 分母有理化是指在二次根式中分母原为无理数，而将分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号去掉．进行分母有理化之前，要先把分子、分母中的二次根式进行化简． 因式的外移和内移： 外移：可以利用二次根式乘法的逆运算，将开方数有开得尽方的因数或因式移到二次根式的外面。 内移：反之也可以将根号外面的正因数或正因式平方后移到根号里面，对于被开方数如果含有字母时，一定要考虑被开方数为非负数，还要考虑整个二次根式的符号。 举例： 二次根式的加减 同类二次根式： 经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 如：、-、-5、3都是同类二次根式。 二次根式的加减，只有同类二次根式才可以合并，其方法和合并同类项类似，注意，不是同类二次根式的不能合并，也就是不能进行加减。 二次根式的混合运算： 运算顺序：与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里的里的(或先去掉括号)； 运算依据：整式乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 注 意：计算结果如果是二次根式，一定要化成最简二次根式。 ... ...
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