3.2.2 双曲线的简单几何性质 激趣诱思 知识点拨 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的容积.气流顺畅,对流冷却效果好,造型美观. 建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径,如何确定这些数据? 激趣诱思 知识点拨 双曲线的几何性质 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性. 2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为 =λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上. 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知双曲线的方程为9x2-y2=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 激趣诱思 知识点拨 2.共轭双曲线 (1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线. (2)共轭双曲线的性质: ①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由双曲线的方程求几何性质 例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 思路分析:将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写出各个结果. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟求双曲线的几何性质的基本思路 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质. 2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是( ) 答案:(1)D (2)C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 根据双曲线几何性质求其标准方程 例2求满足下列条件的双曲线的方程: (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经 (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6. 思路分析:对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧 ⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). ⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线的渐近线与离心率问题 1.求双曲线的离心率或取值范围 思路分析:利用双曲线和圆的性质,结合已知条件得到关于a,c的方程,进而求得双曲线的离心率. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴. ∵|PQ|=|OF|=c, 答案:A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟求双曲线离心率及范围的常见方法 1.求双曲线离心率的常见方法: (3)若得到的是关于a,c的齐次方程,则 ... ...
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