中小学教育资源及组卷应用平台 第16讲 定义新运算 ( 教学目标 ) 学会理解新定义的内容； 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目； 学会自己总结解题技巧。 ( 知识梳理 ) 知识概念 1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如： 、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 ( 典例分析 ) 例1、对于任意数a，b，定义运算“ ”： a b=a×b-a-b。 求12 4的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12 4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） =42-13 =29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。 求6Δ5。 【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定2=1×2×3，3=2×3×4，4=3×4×5，…… 计算（-）×。 【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-1）×X×（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 （-）× = ×-× =-× =（1-） = ×（1-） =×（1-） =× = 例6、规定a▲b=5a+ab-3b。求（8▲5）▲X=264中的未知数。 【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。 （8▲5）▲X=264 （5×8 + ×8×5-3×5）▲X=264 45▲X=264 5×45+×45×X-3X=264 225+X-=264 225+X=264 X=39 X=2 ( 实战演练 ) 课堂狙击 1、A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2， 求(1)(3△17) △29； (2)[(1△9) △9] △6。 【解析】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值。如：3△17=(3+17)÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29)÷2=19.5 (1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6 =[20÷2] △29 =[5△9] △6 =10△29 =[(5+9)÷2] △6 =(10+29)÷2 =7△6 =39÷2 =(7+6)÷2 =19.5 =6.5 2、A，B表示两个数，定义A B=2×A-B。试求： (1)(8.5×6.9) 5 (2)(119.8-29.8) (13.65+12.35) 【解析】定义新运算符号“ ”表示A B=2×A-B，即前面数的两倍与后面数之差；所以 ( （ 2 ）原式 =90 26 =2 × 90-26 =180-26 =154 ) （1）原式=2×（8.5×6.9）-5 =17×6.9-5 =117.3-5 =112.3 3、已知a，b是任意自然数，我们规定：a?b＝ a＋b－1,,那么？ 【解析】原式。 4、表示 【解析】原式。 5、已知2 3=2+22+222=246，3 4=3+33+333+3333=3702. 求:(1)3 3；(2)4 5；(3)若1 x=123，求x. 【解析】观察两个已知等式可以发现，“ ”定义的是连加运算，第一个加数是 ... ...
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