第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定(三) 2020年秋北师大版九年级上册 一、复习回顾 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 矩形的性质 轴对称 中心对称图形,轴对称图形 边 对边平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 相等 且互相平分 A D C B O {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 矩形的判定方法 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形. A B C D A B C D 一、复习回顾 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 直角三角形的性质 几何语言 角 直角三角形两锐角互余 ∵∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠B=90°, 边 两直角边的平方和等于斜边的平方 ∵∠ACB=90°, ∴ AB2+BC2=AB2 边 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90°,D是AB的中点 ∴ CD=1/2 AB 角边关系 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 ∵∠ACB=90°,∠A=90° ∴ BC=1/2 AB 一、复习回顾 A C B D 例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长. 二、典例精析 (一)矩形的性质与判定综合运用 分析：求AE的长 (1)找背景：在Rt △ ADE中; (2)搞特殊： ①勾股定理，求DE (即BD) ② ∠ADE为30°，即∠ABD=60°(△ AOB为等边三角形 ) (3)拉关系：AB=AO 解∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，AO= AC，BO= BD， ∠BAD=90° ∴ AO= BO ∵ED=3BE ， ∴BE=OE，又∵ AE⊥BD， ∴ AB=AO. ∴AB=AO=BO. ∴ ∠ABD=60° ∴ ∠ADB=90°- 60°= 30° ∴AE= AD= ×6=3 例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． (1)求证：四边形ADCE为矩形； 二、典例精析 （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB (3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 例3:如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点． 求证：四边形EDNM是矩形． 二、典例精析 (二)矩形与三角形的性质综合运用 证明:∵D，E分别是AC，AB边上的中点， ∴ ED∥BC，ED= BC. ∵点M，N分别为线段BO和CO的中点, ∴MN∥BC，MN= BC. OM=BM，ON=CN， ∴ED∥MN，ED=MN. ∴四边形EDNM是平行四边形. ∴OE=ON，OD=OM. ∵AB=AC，BD，CE分别是AC，AB边上的中点∴BD=CE，即EO＋ON＋CN=BM＋OM＋OD. ∴3OE=3OM，即OE=OM. 又∵DM=2OM，EN=2OE，∴DM=EN. ∴四边形EDNM是矩形. 方法总结： 判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法． (1)如果可以证明三个角都是直角，可直接证出矩形； (2)如果只能证出一个角为直角或对角线相等，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明菱形． ★矩形的应用常跟三角形的性质结合 例4：如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE. 求证：(1)△ADE≌△CED；(2)DE∥AC. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD ... ...
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