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课件网) 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一 线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2. 知识点二 线面平行的向量表示 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则 l∥α?u⊥n?u·n＝0. 知识点三 面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2 . 思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定； (2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1.已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则 A.l⊥α B.l∥α C.l?α D.l∥α或l?α √ √ 3.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是_____. α∥β 2 题型探究 PART TWO 一、证明线线平行 例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为M?RS，所以MN∥RS. 又R?MN，所以MN∥RS. 反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明 以点D为坐标原点， 不妨设正方体的棱长为1， 又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 二、证明线面平行 例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG， 方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二 因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 而EG?平面EDB，且PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB. 反思感悟 证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. 跟踪训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 证明 ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直. 以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， 设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， 令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)， ∵AB?平面DEG， ∴AB∥平面DEG. 三、证明面面平行 例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2). 同理 ... ...
