第1课时 基本不等式 必备知识基础练 知识点一 利用基本不等式比较大小 1.下列不等式中正确的是( ) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 2．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( ) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 3．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( ) A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b 知识点二 利用基本不等式证明不等式 4.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 5．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：≥8. 关键能力综合练 一、选择题 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是( ) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 3．若0
0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( ) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 6．(探究题)若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A．a－b＞－ B.< C.> D.＞ 二、填空题 7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是_____． 8．设a，b为非零实数，给出下列不等式： ①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是_____．(填序号) 9．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式： ①ab≤1；②＋≤ ；③a2＋b2≥2；④＋≥2. 其中成立的是_____．(写出所有正确命题的序号) 三、解答题 10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c. 学科素养升级练 1．(多选题)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( ) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D.≥4 2．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值等于_____；＋的最小值等于_____． 3．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值； (2)已知x>3，求y＝x＋的最小值． 2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式 必备知识基础练 1．解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由基本不等式可知D正确． 答案：D 2．解析：第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)， 第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a>0，b>0，x>0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2， ∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.(当且仅当a＝b时，等号成立) 答案：B 3．解析：解法一 ∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B. 解法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B. 答案：B 4．证明：∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c>＋＋. 5．证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 ≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 关键能力综合练 1．解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0， ∴a＝1时，等号成立． 答案：B 2．解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D. 答案：D 3．解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝. ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab， ∵00，b>0时，a＋ ... ... 