第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程 1．概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式 其中， 是二次项，是二次项系数； 是一次项，b 是一次项系数；c是常数项。 3. 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 二、一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路是“降次”，通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程． (1) 直接开平方法： 若，则x叫做a的平方根，表示为x= ：这种解一元二沃方程的方法，叫做直接开平方法。 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ① 移项；② 使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③ 两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 (2) 配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。其理论依据：完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2 配方法解一元二次方程的步骤： 一移、二除、三配、四解。 即：1）把常数项移到等号的右边； 2）方程两边都除以二次项系数； 3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 ①公式法： 一般地，对于一元二次方程 ，如果 ，那么方程的两个根为 ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a、b、c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 ② 因式分解法： 将一元二次方程先因式分解使方程化为两个因式的乘积等于0的形式，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法解一元二次方程的步骤： 1） 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2） 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3） 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4） 解一元一次方程即可得到原方程的解。 三、一元二次方程根的判别式 ax2+bx+c=0（a≠0） △=b2-4ac＞0 △=b2-4ac=0 △=b2-4ac＜0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 四、一元二次方程根与系数的关系 若xl，x2是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的两个根，则有 , 。 第二十二章 二次函数 一、二次函数及其图象 1．二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数，-一项系数和常数项。 2．二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 函数 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 增减性 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大 最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 3. 二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象与性质 函数 y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a<0) 图象 顶点坐标 （h，0） 对称轴 直线x=h 顶点位置 当h＞0时，顶点在y轴的右侧；当h＜0时，顶点在y轴的左侧。 增减性 在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大 在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小 开口方向 向上 向下 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 4. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐 ... ...
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