中小学教育资源及组卷应用平台 第9讲、圆内接四边形与正多边形 一、课前检测 （一）选择题（共2小题） 1. 下列四边形中，一定有外接圆的是（ ） A.对角线相等的四边形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形 2. 已知四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C：∠D=5：m:4:n，则m，n满足的条件是（ ） A.5m=4n B.4m=5n C.m+n=9 D.m+n=180° （二）填空题（共4小题） 3. 已知在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，AD=DC，∠B=40°，则∠A=_____. 第3题 第4题 第5题 第6题 4. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为_____. 5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于_____. 6．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有_____个. （三）解答题（共1小题） 7. 如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合.若点A的坐标为（-1,0），求点C的坐标. 二、考点梳理 考点一：圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 圆内接四边形的对角互补；圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角. 重要提示： 要判定一个四边形是否为圆的内接四边形，关键是看这个四边形的对角是否互补. 考点二：正多边形 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等. 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形. 正n边形的每个内角的度数为（或），每个外角的度数为. 重要提示： 1.任何正多边形都有一个外接圆. 2.能进行镶嵌平面的条件：共顶点的各多边形的内角之和等于360°；能单独镶嵌平面的正多边形只有三种，它们是正三角形、正方形、正六边形. 重点突破 例1．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ） A.1:2:3 B.1：： C.：：1 D.无法确定 例2．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： （1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1； （2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ） A. B. C. D. （点拨：连接BM） 例3．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是_____cm. 例4． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE. （1）求证：∠A=∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形. （点拨：掌握圆内接四边形对角互补） 例5. 已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并证明. (点拨：要分两种情况讨论) 例6. 如图，已知BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，BF、BE分别与△ABC的外接圆O交于点F、E．求证： （1）EF是△ABC的外接圆的直径； （2）EF是AC的垂直平分线. （点拨：90°的圆周角所对的弦是直径和过圆心平分弧则垂直平分弦） 例7． 如图，G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH的度数. （点拨：正确地利用正六边形中相等的元素） 例8． 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°.延长BP至D，使BD=AP，连接CD． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AP过圆心O，如图1，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． （3）若AP不过圆心O，如图2，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由. 例9．已知正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E是⊙O上的一点. （1）如图①，若点E在弧AB上，点F是 ... ...
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