24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 教学目标： 1、理解圆心角的概念． 2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系． 教学重难点：圆的性质的综合应用． 知识点一：圆的旋转不变性 圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？ 【考点】B4：旋转． 【专题】463：图形与变换． 【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分， 每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度． 答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合． 【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．60° 【分析】先根据得出==，，最后根据∠A=∠B=∠C即可得出∠B的度数． 【解答】解：∵， 将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′， ∴==， ∴， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 故选D． 【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答． 知识点二：圆心角 定义：角的顶点在圆心的角 例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（ ） A．50° B．55° C．65° D．80° 【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得． 【解答】解：∵OM=ON， ∴∠N=∠M=50°． 再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON=180°﹣50°×2=80°． 故选D． 【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理． 变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（ ） A．40° B．60° C．80° D．120° 【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解． 【解答】解：∵∠AOE=60°， ∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°， ∴的度数是120°， ∵C、D是上的三等分点， ∴弧CD与弧ED的度数都是40度， ∴∠COE=80°． 故选C． 【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（ ） A．72° B．72°或144° C．144° D．144°或216° 【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的． 【解答】解：∵弦AB把圆周分成2：3的两部分， ∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°． 故选D 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项 ... ...
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