中小学教育资源及组卷应用平台 专题21 一元二次方程 单元知识点呈现 知识点1：一元二次方程的定义 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+b (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 知识点2：一元二次方程的解法 （1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次———转化的数学思想． （2）配方法：解一元二次方程 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 知识点3：解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 重难点及方法解读 1.对本章知识点回顾的思维导图 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??) 2.理解韦达定理 韦达定理就是研究一元二次方程根与系数的关系的理论。 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 对点例题解析 【例题1】（2020?临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（ ） A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2 【答案】B 【分析】方程利用配方法求出解即可． 【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0， 移项得：x2﹣4x＝8， 配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12， 开方得：x﹣2＝±2， 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2． 【例题2】（2020?泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．21世纪教育网版权所有 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得 ... ...
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