初中数学沪教版九年级上册-第3讲：锐角的三角比学案-教师版

锐角的三角比 内容分析 锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用． 知识结构 1399539737141 模块一：锐角的三角比的意义 知识精讲 1、正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 B a c C b A 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角 A 的正切记作 tan A． tan A ? 锐角A的对边 ? BC ? a ． 锐角A的邻边 AC b 2、余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角 A 的余切记作 cot A． cot A ? 锐角A的邻边 ? AC ? b ． 锐角A的对边 BC a 3、正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 B a c C b A 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角 A 的正弦记作 sin A． sin A ? 锐角A的对边 ? BC ? a ． 斜边 4、余弦 AB c 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角 A 的余弦记作 cos A． cos A ? 锐角A的邻边 ? AC ? b ． 斜边 AB c 例题解析 【例 1】如图，在 Rt?ABC 中，?C ? 90? ，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（ ） A． sin A ? 12 13 B． cos A ? 12 13 C． tan A ? 5 12 D． tan B ? 12 B A C 5 【难度】★ 【答案】A 【解析】根据勾股定理，可得 AC ? AB2 ? BC2 ? 5 ，根据三角比的定义， 则有sin A ? BC ? 12 ， cos A ? AC ? 5 ， tan A ? BC ? 12 ， AB 13 AB 13 AC 5 tan B ? AC ? BC 5 ，可知 A 正确． 12 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算． 【例 2】在?ABC 中， ?B ? 90? ，BC = 2AB，则 cos A 的值为 ． 【难度】★ 【答案】 5 ． 5 AB2 ? BC 2 406602066112【解析】根据勾股定理，可得 AC ? ? 5AB ，根据三角比的定义， 则有cos A ? AB ? AC AB ? 5 ． 5AB 5 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算． 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则tan? 的值是 ． y B （2，1） A O C x 【难度】★★ 【答案】 1 ． 2 【解析】设这个点是 B ?2，1? ，作 BC ? x 轴交 x 轴于点C ， 则有OC ? 2，BC ? 1，故 tan? ? BC ? 1 ． OC 2 【总结】考查“数形结合”，平面直角坐标系中点坐标转化为长度， 同时可简单认识斜率与 x 轴夹角的关系． 【例 4】如图，Rt?ABC 中，?ACB ? 90? ，AC = 8，BC = 6，CD ? AB ，垂足为 D，则 tan C A D B 的值是 ． 【难度】★★ 【答案】 3 4 【解析】“子母三角形”中，易得?BCD ? ?A ， 则有 tan ?BCD ? tan A ? BC ? 6 ? 3 ． ?BCD AC 8 4 【总结】考查“子母三角形”，通过等角的转化进行求解． 5 【例 5】?ABC 中，已知?C ? 90? ， tan A ? 1 ， c ? 2 2 ，求 a、b 的值． 【难度】★★ 【答案】a ? 2 ， b ? 4 ． 【解析】根据锐角三角比的定义，则有 tan A ? a ? 1 ，即得b ? 2a ，根据直角三角形勾股定理， b 2 则有a2 ? b2 ? c2 ? 20 ，代入解得： a ? 2 ， b ? 2a ? 4 ． 【总结】考查锐角三角比的定义，同时结合勾股定理进行计算． 【例 6】?ABC 中，已知?C ? 90? ， sin A ? 2 ，求cos A 、 tan A 的值． 3 【难度】★★ 【答案】cos A ? 5 ， tan A ? 2 5 ． 3 5 【解析】根据锐角三角比的概念， sin A ? BC ? 2 ，设 BC ? 2a ，则 AB ? 3a ，勾股定理得： AC ? AB 3 AB2 ? BC2 2599750755025402874170239? 5a ，则cos A ? AC ? 5a ? 5 ， tan A ? BC ? 2a ? 2 5 ． AB 3a 3 AC 5a 5 【总结】考查锐角三角比的概念 ... ...