第九讲 图形计数 数一数共有多少个三角形？ 【解析】用排列组合的思想解决问题，我们在数三角形的时候，只要确定最底下的一条边即可，譬如，确定了线段BD，就能确定三角形ABD。而BC上一共有＝5×4÷（1×2）＝10条线段，就有10个三角形。 解答：共有3×＝30个三角形。 在一块画有4×4方格网木板上钉了25颗铁钉(如图)，如果用线绳围正方形，最多可以围出多少个？ 【解析】此类问题一般用分类方法计数。对正方形的边长分八类计数如下:边长为AB的正方形有16个；边长为AC的正方形有9个；边长为AD的正方形有4个；边长为AE的正方形有1个；边长为DF的正方形有9个；边长为CF的正方形有8个；边长为BF的正方形有2个；边长为CG的正方形有1个。 解答：最多可围出50个正方形。 下图的图形中一共有多少个三角形? 【解析】①单个三角形有6个；②两个图形组成的有4个；③三个图形组成的有1个；④四个图形组成的有2个；⑤八个图形组成的有1个。 解答：一共有 6＋4＋1＋2＋1＝14个。 数一数图中一共有多少个三角形？ 【解析】分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的。第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的。第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的。最后把每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数。 解答：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一个三角形构成的有8个；②由两个三角形构成的三角形有5个；③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个这样在一个小矩形内有17个三角形。 Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形。 Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形。 所以整个图形共有三角形个数是：（8＋5＋5＋5＋2）×＝25×4＝100（个）。 由35个单位正方形组成的长方形中，如图所示有两个“A”，问包含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有多少？ 【解析】方法一：含两个A的长方形，与二，三两行有公共部分。它们可能与第一行有公共部分，也可能与第一行没有有公共部分，故可以分为两类；每一类的长方形，可能和第四，五两行有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第四行有公共部分，而与第五行没有公共部分，即又分为三类。故从行考虑共有（2×3）种方法；同理，从列来考虑有（3×4）种方法；于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有（2×3）×（3×4）＝72个。 方法二：要确定一个符合条件的长方形，需要有上下左右四条边。选择上边所在的直线，有2种方法；选择下边所在的直线，有3种方法；选择左边所在的直线，有3种方法；选择右边所在的直线，有4种方法。于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有2×3×3×4＝72个。 解答：72个。 8条直线最多能把平面分成多少部分？ 【解析】1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图，所以4条直线最多将平面分成7＋4＝11个部分。完全类似地，5条直线最多将平面分成11＋5＝16个部分；6条直线最多将平面分16＋6＝22个部分；7条直线最多将平面分成22＋7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29＋8＝37个部分。 一般地，n条直线最多将平面分成个部分。 解答：8条直线最多能把平面分成37部 ... ...
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