专题02 角度计算中的经典模型（举一反三）（原卷+解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 角度计算中的经典模型【举一反三】 【模型1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【例1】（2019春?润州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB， 垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数． 【分析】首先由FD⊥AB于D，根据直角三角形两锐角互余得出∠BED+∠B＝90°，同理，由∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BED＝55°． 【答案】解：∵FD⊥AB于D， ∴∠BED+∠B＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BED＝55°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单． 【变式1-1】（2019秋?凉州区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°， 求∠A的度数． 【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC中利用三角形内角和定理可求得∠A． 【答案】解：∵DF⊥BC， ∴∠FDC＝90°， ∵∠AFD＝152°， ∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°， ∵∠B＝∠C， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180°是解题的关键． 【变式1-2】（2019春?莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE． 【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF， 同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFE． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． 【变式1-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？ 为什么？ （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可； （2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可； （3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可． 【答案】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）△ADE是直角三角形． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角新； （3）∠A+∠D＝90°． ∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD， ∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠A+∠D＝90°． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余． 【模型2 A字模型】 【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A 【例2】（2019春?资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等 于多少度？ 【分析】根据三角形内角和定理求 ... ...