专题4.1 任意角 弧度制与任意角的三角函数重难点突破（理科）（原卷版+解析版）-突破满分数学之2021高考总复习导与学

中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.1 任意角、弧度制与任意角的三角函数 一、考纲要求 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 二、考情分析 三、考点梳理 考点一 角的概念 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 四、题型分析 重难点题型突破1 角的表示、象限角与轴线角 例1、（1）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为，故选D. （2）给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】：－是第三象限角，故①错误；＝π＋，所以是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确； －315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C. 【变式训练】（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) （2）若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】（1）B　（2）C. 【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样． （2）　∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选C. 重难点题型突破2 扇形的周长与面积 例2、已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．2 B．1 C. D．3 【答案】A 【解析】解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2. 解法二：设扇形圆心角的弧度数为α，弧长为l，则l＋＝4.故l＝. 又S＝lr＝＝2＝≤＝1.当且仅当α＝，即α＝2时，S取最大值． 例3、(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为_____． 【答案】：4＋2 【解析】：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DA ... ...