第二十四章 圆 复习课件 主题1 垂径定理 【主题训练1】如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C， 若AB=8 cm，CD=3 cm，则圆O的半径为( ) A. cm B.5 cm C.4 cm D. cm 【自主解答】选A.连接OA.∵OD⊥AB且OD是半径∴AC= AB =4cm,∠OCA=90°,Rt△OAC中,设☉O的半径为R,则OA=OD=R, OC=R-3;由勾股定理,得:OA2=AC2+OC2,即:R2=16+(R-3)2,解得 R= cm,所以选A. 【主题升华】 垂径定理及推论的四个应用 1.计算线段的长度:常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形,结合勾股定理进行计算. 2.证明线段相等:根据垂径定理平分线段推导线段相等. 3.证明等弧. 4.证明垂直:根据垂径定理的推论证明线段垂直. 1.如图,在☉O中,弦AB的长为8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则☉O的半径为( ) A.5 B.10 C.8 D.6 【解析】选A.连接OA,由垂径定理可得AC=4, △OAC是直角三角形,由勾股定理可得OA2= OC2+AC2=32+42=25,所以OA=5. 2.在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为 . 【解析】过圆心O作AB的垂线交AB于点D, 由垂径定理,得AD= AB=2, 在Rt△AOD中,运用勾股定理,得OD= . 答案: 主题2 圆周角定理及其推论 【主题训练2】如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为( ) A.4 cm B.3 cm C.5 cm D.4cm 【自主解答】选A.连接BC，BD，OD， 则OD,BC交于E.由于AD平分∠BAC， 所以 所以OD⊥BC，又半圆O 的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，所以BC＝8 cm，所以BE＝ 4 cm，又OB＝5 cm，所以OE＝3 cm，所以ED＝5－3＝2(cm)， 在Rt△BED中，BD＝ 又∠ADB＝90°， 所以AD＝ 【主题升华】 圆周角的四种关系 1.同圆或等圆中,等弧对的圆周角相等. 2.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半. 3.直径对的圆周角为90°. 4.圆内接四边形对角互补. 1.如图,在☉O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于( ) A.50° B.80° C.90° D.100° 【解析】选D.因为∠ABC=50°, 所以∠AOC=2∠ABC=100°. 2.(2013·郴州中考)如图,AB是☉O的直径,点C是圆上一点, ∠BAC=70°,则∠OCB= °. 【解析】因为AB是直径,所以∠ACB=90°, 又OA=OC,所以∠A=∠ACO=70°, 所以∠OCB=90°-∠ACO=90°-70°=20°. 答案:20 主题3 切线的性质和判定 【主题训练3】如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC =∠B =60°. (1)求∠ADC的度数. (2)求证:AE是☉O的切线. 【自主解答】(1)∵∠B与∠ADC都是 所对的圆周角,且∠B =60°, ∴∠ADC=∠B =60°. (2)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°, 又∠B =60°,∴∠BAC=30°, ∵∠EAC =∠B =60°, ∴∠BAE =∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°, ∴BA⊥AE,∴AE是☉O的切线. 【主题升华】 切线的性质与判定 1.切线的判定的三种方法:(1)根据定义观察直线与圆公共点的个数.(2)由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.(3)应用切线的判定定理.应用判定定理时,要注意仔细审题,选择合适的证明思路:①连半径,证垂直;②作垂直,证半径. 2.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据,辅助线的作法一般是连接切点和圆心,构造垂直关系来证明或计算.切线长定理也为线段或角的相等提供了丰富的理论依据. 1.如图,在△ABC中,AB=2,AC= ,以点A为圆 心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是 . 【解析】如图,连接AD,则AD⊥BC;在 Rt△ABD中,AB=2,AD=1,∴∠B=30°, 因而∠BAD=60°,同理,在Rt△ACD中, ∠CAD=45°,所以∠BAC的度数是105°. 答案:105° 2.如图,AB是半圆O的直径,点P在AB的延长线上,PC切半圆O于点C,连接AC.若∠CPA=20°,则∠A= °. 【解析】如图,连接OC.∵PC切半圆O于点C, ∴PC⊥OC即∠PCO=90°. ∵∠CPA=20°, ∴∠POC=90°-∠CPA=70°. ∵OA=OC,∴∠A=∠ACO. 又∵∠POC=∠A+∠ACO. ∴∠A= ∠POC=35 ... ...
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