中小学教育资源及组卷应用平台 专题5.2 平面向量的基本定理及其坐标表示 【基础巩固】 1、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( ) A.－ B．－ C．－＋ D．－＋ 【答案】C 【解析】法一：如图 取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C. 法二：＝＋＝＋＝－＋＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋. 2、已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( ) A．－ B． C. D． 【答案】A 【解析】＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 3、 一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝( ) A.－ B.1 C. D.－3 【答案】A 【解析】 (1)＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ. 因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－. 4、设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于( ) A.－2 B.2 C.－3 D.3 【答案】C 【解析】由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3. 5、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为( ) A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) 【答案】B 【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P. 6、设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( ) A.－3 B.－2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1，1)，＝－＝(－2n－1，2)， 所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1.2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3. 7、已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝_____。 【答案】 【解析】因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝. 8、已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_____． 【答案】(2,4) 【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)， 则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)， ∴解得故点D的坐标为(2,4)． 9、已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____。 【答案】(3，3) 【解析】方法一 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ). 又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝， 所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3). 方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3，3). 10、如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，。 【解析】设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝， 得 ①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2， 所以＝－e1＋e2.同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2. 【能力提升】 11、(2020·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【解析】由题意得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，得a2＋b2－c2＝ab，故cosC＝＝，0°
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