第三章 圆 第27课时 直线和圆的位置关系 北师大版 九年级下册 温故知新 1.复习切线的性质定理． 2.什么是三角形的外心？ 阅读感知 阅读课本 92～93 页的内容，完成下面的填空： 1.切线的判定定理 经过直径的一端，并且_____这条直径的直线是圆的切线． 2.三角形的内切圆． 和三角形三边都_____的圆，叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形_____的交点，叫做三角形的内心． 合作探究 探究 1：如图 1 所示，已知⊙O 上有一点 A，过一点 A 作出⊙O 的切线． 分析：根据“经过直径的外端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”，可连接 _____，过点作 OA 的垂线． 请同学们自己写出作法并作出图形． 合作探究 探究 2：如图 2 所示，已知△ABC，求作：△ABC 的内切圆． 分析： 根据“三角形的内切圆到三角形三边的距离相等”，所以内切圆的圆心应在这个三角形上，半径为圆心到 _____ 的距离． 请同学们自己写出作法并作出图形． 合作探究 探究 3：切线的判定定理的应用 如图 3 所示，已知 Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于点 D，连接 BD． （1）若 AD＝3，BD＝4，求边 BC 的长； （2）取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与⊙O 相切． 思考：（1）所求的线段和已知线段在哪两个三角形中？它们之间具有什么关系？ （2）要证明直线与圆相切，需要满足什么条件？在图 3 中添加你需要的 合作探究 辅助线，并写出证明过程． 典例精讲 类型之一 切线的判定及有关计算 【例 1】如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BC，连接 OC，弦 AD∥OC． 求证：CD 是⊙O 的切线． 典例精讲 解析：连接OD． ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD∥OC，∴∠OAD＝∠BOC，∠ODA＝∠COD， ∴∠COD＝∠BOC，∴△COD≌△COB， ∴∠ODC＝∠OBC， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴CD为⊙O的切线． 典例精讲 【例 2】如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线，sinB＝ ，∠D＝30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若 AC＝6，求 AD 的长． 典例精讲 解析：（1）连接OA．∵sinB＝ ，∴∠B＝30°， ∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°． ∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°， ∴AD是⊙O的切线． （2）∵OA＝OC，∠AOC＝60°． ∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6， ∵∠OAD＝90°，∠D＝30°， ∴AD＝ ． 典例精讲 类型之二 与三角形内心有关的计算及证明 【例 3】如图所示的△ABC 是工厂里大量铁板余料，小明测得∠C＝90°，∠A 的平分线分对边 BC 所得两条线段 BD＝5，DC＝3，现要最大限度利用这种余料截出一个圆形铁板． （1）试用直尺和圆规确定出圆形铁板的圆心 O； （2）求⊙O 的最大半径． 典例精讲 解析：（1）作∠ACB的角平分线交BD于点O，则点O为铁板的内切圆的圆心． （2）∵AD平分∠BAC，∴ ， 设AB＝5a，则AC＝3a， 在Rt△ABC中，BC＝ ＝4a， 而BC＝BD＋CD＝8， ∴4a＝8，解得a＝2， ∴AB＝10，AC＝6， 典例精讲 ∴△ABC的内切圆的半径＝ ＝2， 即⊙O的最大半径为2． 课堂操练 1.下列直线是圆的切线的是（ ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线 2.如图所示，△ABC 的内切圆 O 分别切三边于点 D，E，F，如果∠A＝50°，那么∠EDF 等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° B D 课堂操练 3.如图所示，点 I 是△ABC 的内心，AI 交 BC 于点 D，交△ABC 外接圆于点 E，则图中与 IE 相等的线段是（ ） A．IA B．IB C．BD D．BE 4.如图所示，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交圆于点 C，连接 BC．若∠A＝26°，则∠ACB 的度数为 _____． D 32° 课堂操练 5.如图所示，AB ... ...
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