2021年中考数学一轮复习分类专题训练：圆周角定理综合运用（四）（Word版 含解析）

2021年中考数学分类专题训练： 圆周角定理综合运用（四） 1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点． （1）求证：△ABC为等边三角形； （2）求DE的长； （3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由． 2．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E，F，G三点，连接FE，FG． （1）求证：∠EFG＝∠B； （2）若AC＝2BC＝4，D为AE的中点，求CD的长． 3．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cosC＝，BC＝2． （1）求∠A的度数； （2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求MD的长度． 4．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F． （1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由； （2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E． （1）求证：AD2＝DE?DB； （2）若BC＝，CD＝，求DE的长． 6．如图，AC是圆O的直径，AC＝10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC． （1）求证：△ABC∽△ADB； （2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长． 7．如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接AD、BD、CD和BC． （1）求证：∠CBN＝∠CDB； （2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB＝15°，求DC的长． 8．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2＝AP?AD． （1）求证：AB＝AC； （2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长． 9．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD＝AP，连接CD． （1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由； （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？ 10．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID＝BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID＝6，AD＝x，DE＝y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 参考答案 1．（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形． （2）解：连接BE． ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴BE⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点， ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线， ∴DE＝AB＝×2＝1． （3）解：存在点P使△PBD≌△AED， 由（1）（2）知，BD＝ED， ∵∠BAC＝60°，DE∥AB， ∴∠AED＝120°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠PBD＝120°， ∴∠PBD＝∠AED， 要使△PBD≌△AED； 只需PB＝AE＝1． 2．（1）证明：连接GD； ∵CD是直径， ∴∠CGD＝90°； ∴DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B； 又∵四边形DGFE是圆的内接四边形， ∴∠ADG＝∠EFG； ∴∠B＝∠EFG； （2）解：连接CE，则CE⊥AB； 在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝2； 由勾股定理，得：AB＝＝10； 由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE＝AC2÷AB＝8； ∴AD＝DE＝4，BE＝2； CE2＝AE?BE＝16，∴CE＝4； Rt△CED中，CE＝4，DE＝4；∴CD＝4． 3．（1）解：∵∠BOE＝60°， ∴∠A＝∠BOE＝30°． （2）证明：在△ABC中，∵cosC＝， ∴∠C＝60°． 又∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC． ∴BC是⊙O的切线． （3）解：∵点M是的中点， ∴OM⊥AE． 在Rt△ABC中，∵BC＝2， ∴AB＝BC?tan60°＝2×＝6． ∴OA＝＝3， ∴OD＝OA＝， ∴MD＝． 4．解：（ ... ...