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课件网) 第24章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 沪科版 九年级数学下册 教学课件 学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 讲授新课 切线长定理及应用 问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ O. P A B 合作探究 你可以作几条？ 作法：1. 连接OP. 2. 以OP为直径作圆，设此圆 交⊙O于点A，B. 3. 连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作. ?切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 知识要点 O. P A B ?过圆外一点能够作圆的两条切线. ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点，可以度量． ?切线长与切线的区别 O，A，B，P四点共圆哦！ 问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ O. P A B PA = PB， ∠APO =∠BPO. 试着自己证明. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切☉O于A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 几何语言： O. P A B 知识要点 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 1. 若连结两切点A、B，AB交OP于点M. 你又能得出什 么新的结论? 请给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB， ∴△PAB是等腰三角形， PM为顶角的平分线， ∴OP垂直平分AB. M 想一想： O. P A B 2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明. 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴CA=CB. CA=CB C O. P A B PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. (1) 写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. (3) 写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. (4) 写出图中所有的等腰三角形. △ABP，△AOB. (2) 写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D 练一练 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H. 求证：AB+CD=DA+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O相切，E、F、G、H是切点， · A B C D O E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即AB+CD=AD+BC. 典例精析 例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若PA长为2，则△PEF的周长是_____． 解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点 A、B，所以PA＝PB.因为 ⊙O 的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA ＝ EC，CF ＝ BF，所以△PEF 的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4. 4 例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是_____度． 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20. 20 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切 ... ...
