第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解 知识回顾 1. 整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式. (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an. (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 2. 乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2. 情景引入 21 等于 3 乘哪个整数？ 21＝3×7 x2-1等于x+1乘哪个多项式？ 对于整数21与3，有整数7使得21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数. 同理，7也是21的一个因数. 对于多项式x2-1与x+1，有x-1使得 ，我们把x+1叫作x2-1的一个因式，同理x-1也是x2-1的一个因式． 获取新知 因式分解 一般地，对于两个多项式 f 与g，如果有多项式h使得f =gh，那么我们把g叫做 f 的一个因式.此时，h也是f 的一个因式. 把x2-1写成( x+1 )( x-1 )的形式叫做把这个多项式因式分解. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 获取新知 可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形. 即 x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 为什么要把一个多项式因式分解呢？ 说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 新知探究 万里长城是由砖砌成的.不少房子也是用砖砌成的.因此，砖是基本建筑块之一. 类似地，在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”. 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数. 素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个大于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式. 新知探究 例如 12=2×2×3， ① 30=2×3×5 ② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 2×3=6， 进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 同样地，在系数为有理数(或系数为实数)的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁. 新知探究 例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解. 因式分解还可以在许多实际问题中简化计算. 例题讲解 【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）a2+2ab+b2=( a+b )2； （2）m2+m-4=( m+3 )( m-2 )+2. 解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b乘积的形式. （2）不是.因为( m+3 )( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式. 例题讲解 【例2】检验下列因式分解是否正确. （1）x2+xy=x( x+y )； （2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)； （3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ). 解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确； （2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确； （3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确. 例题讲解 随堂演练 1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 (6)m2-42=(m+4)(m-4) (7)2πR+ 2 πr= 2π(R+r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解 随堂演练 2.把下列各式写成乘积的形式: (1)1-x2 (2)4a2+4a+1 (3)4x2-8x (4)2x2y-6xy2 (5)1-4x2 (6)x2-14x+49 =(1+x)(1-x) =(2a+1)2 =4x(x-2) =2xy(x-3y) =(1+2x)(1-2x) =(x-7)2 随堂演练 3．x2-px+ab=(x+a)(x+b)，则p=( ) A.-a+b B.-a-b C.a-b D.a+b 【解析】选B.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以-p=a+b,即p=-(a+b)=-a-b. 4．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则代数式ma+mb+ ... ...
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