二次函数零点的分布 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 零点存在定理 一、复习 (1) 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线： (2) f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点； 例题1、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。 你首先想到了什么方法？ 韦达定理 你还有其他思路吗？ 能从二次函数入手思考该问题吗？ 解：设方程的两实根分别为x1、x2，则 例题1、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。 从二次函数的零点角度分析 改写题目，题意不变 x2＋(m－3)x＋m=0 设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m 有两个正根 函数与x轴的交点在x轴的正半轴 如何画一个二次函数？ 1.开口方向 2.对称轴 3.关键点：顶点，零点或端点 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件： 例题1、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。 {m|0＜m≤1} x y 比较两种思路，作出评价： 法一：韦达定理法 法二：二次函数法 1、形式不同，本质一样； 2、在本问题中韦达定理法更简洁。 以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？ （2）两负实根； （3）一正一负两实根 在初中已经学过了用韦达定理解决这类与零有关的问题。现在请你用刚刚所学的第二种方法来解决这两个问题。 男生完成（2），女生完成（3）。只需列式 例题1：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （1）两正实根(已解决){m|0＜m≤1} 其他问题： （2）有两个负根 例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件： y x 解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足： x y 例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （3） 一个正根，一个负根 （2）两负实根； （3）一正一负两实根 （4）两实根均大于0.5； （5）两实根均小于1； （6） 一个根大于1，一个根小于1 例题1：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（1）两正实根(已解决){m|0＜m≤1} 其他问题： 条件改变 思路不变 三组同学按顺序分别完成（4）-（6） （4） 两个根都大于0.5 例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件： 0.5 x y O 辨析： 解：设方程的两实根分别为x1、x2，则 例题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（4） 两个根都大于0.5 错误：条件与列式不等价 例如：两根为4和0.2时 （5） 两个根都小于1 例题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件： y x 1 （6） 一个根大于1，一个根小于1 f(1)=2m-2 <0 例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件： 1 x y 总结：一元二次方程根的分布 1.读题，确定一元二次方程根的范围 2.画图，注意开口方向与零点的位置 3.根据图像，写出解题的关键式 (1)判别式;（要特别注意是否该带等号） (2)对称轴与区间端点的位置关系; (3)区间端点函数值f(m),f(n),f(k)等的符号. 弱水三千，只取一瓢 题变万化，主抓其根 分类 图像 列式 两个根都小于k 两个根都大于k y x k k x y 完成表格：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布 一根小于k，一根大于k k x y f(k)<0 反思归纳， ... ...
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