§26.1二次函数的定义 教学目的 探索具体问题中的数量关系和变化规律,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的概念。 教学重点和难点 教学重点：对二次函数概念的理解． 教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围． 教学过程 一、复习提问 1．什么叫函数？它有几种表示方法？ 2．什么叫一次函数？(y=kx+b，k≠0) 什么叫正比例函数？(y=kx，k≠0) 什么叫反比例函数？(y=，k≠0) 二、新课 引入 问题1 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？ 试一试 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中. x的值是否可以任意取？有限定范围吗？ 我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式． 我们可以得到： 问题1中的函数关系式为 y＝x（20－2x） （0＜x＜10） 即 y＝－2x2＋20x （0＜x＜10） 问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 分 析 在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数． 我们可以得到： 问题2中的函数关系式为 y＝（10－x－8）（100＋100x） （0≤x≤2）， 即 y＝－100x2＋100x＋200 （0≤x≤2）. （二）定义 观 察 得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？ 概 括 它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值？ 形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）． 注意：1．使学生理解强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式． 2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如问题1中，0＜x＜10；问题2中，0≤x≤2。 3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50． 4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 5．b和c是否可以为零？ 若b=0，则y=ax2＋c； 若c=0，则y=ax2＋bx； 若b=c=0，则y=ax2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． （三）例题 例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数， 指出a、b、c． (1)y=1-3x2； (2)y=x(x-5)； (5)y=3x(2-x)＋3x2； (6)y＝(x＋2)(2-x)； (8)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数) 例2若函数y=（+m）+（m-2）x-1是二次函数，求m的值。 分析：m需要满足①+m≠0；②-m=2 解得m=2 例3设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式． 请同学指出自变量是c，取值范围c＞0． （四）练习 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？ 2.农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 3.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm． 当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积； 设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式． 4.已知正方体的棱长为x cm，它的 ... ...
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