1.3.2.4 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第二节 函数的基本性质 第二课时 函数奇偶性的应用

中小学教育资源及组卷应用平台 教材考点 学习目标 核心素养 利用奇偶性求函数的解析式 会利用函数的奇偶性求函数的解析式 数学运算 函数的奇偶性与单调性的综合问题 能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题 数学运算、逻辑推理 INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF" 探究点1　利用奇偶性求函数的解析式 INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../../例1LLL.TIF" \ MERGEFORMAT 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式. 【解】　当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)， 所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1， 故f(x)＝ INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../../互动探究LLL.TIF" \ MERGEFORMAT 1.(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值. 解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2. 2.(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x－1， 即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1. 利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内. (2)利用已知区间的解析式代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).　 INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../../跟踪训练LLL.TIF" \ MERGEFORMAT 1.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象； (3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域. 解：(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(x)＝f(－x). 当x<0时，－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x. 综上，f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示： INCLUDEPICTURE "../../../../../ABD23.TIF" \ MERGEFORMAT (3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为(－∞，1]. 探究点2　函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度一　比较大小问题 INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../../例2LLL.TIF" \ MERGEFORMAT 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A.f＜f(－1)＜f(2) B.f(2)＜f＜f(－1) C.f(2)＜f(－1)＜f D.f(－1)＜f＜f(2) 【解析】　因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 所以f(2)＝f(－2). 又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜－＜－1. 所以f(2)＝f(－2)＜f＜f(－1)，故选B. 【答案】　B 角度二　解不等式 INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../../例3LLL.TIF" \ MERGEFORMAT 设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是　　　　. 【解析】　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上是减函数. 所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于 解得－2≤m＜. 【答案】　 奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小 ①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②自变 ... ...