1.5.2.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第二节 三角函数的概念 第二课时 同角三角函数的基本关系

中小学教育资源及组卷应用平台 教材考点 学习目标 核心素养 同角三角函数基本关系 理解同角三角函数基本关系式 数学运算 同角三角函数基本关系的应用 能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明 数学运算、逻辑推理 问题导学 预习教材P182－P184，并思考以下问题： 1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？ 2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？ 同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1　 商数关系 ＝tan__α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 ■微思考 (1)平方关系和商数关系成立的条件分别是什么？ 提示：平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件必须为：α≠kπ＋，k∈Z. (2)对任意的角α，sin2 2α＋cos2 2α＝1是否成立？ 提示：成立．平方关系中强调的是同一个角且是任意的，与角的表达形式无关． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．(　　) (2)对任意角α，＝tan 都成立．(　　) (3)存在角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知α∈，sin α＝，则cos α等于(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C．－ D. 答案：B 3．化简：(1＋tan2 α)·cos2 α等于(　　) A．－1　　　　B．0 C．1　　　　D．2 答案：C 4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝_____． 答案：－ 探究点1　利用同角基本关系式求值 　(1)已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ (2)已知＝2，则＝_____． 【解析】　(1)因为α为第二象限角， 所以sin α＝＝ ＝， 所以tan α＝＝＝－. (2)由＝2，化简得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. 原式＝＝. 【答案】　(1)D　(2) (变问法)本例(2)条件不变，计算2sin2α－3sin αcos α的值． 解：因为tan α＝3， 所以原式＝ ＝ ＝ ＝＝. (1)求三角函数值的方法 ①已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解 　 ②已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． (2)已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 ①关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； ②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 1．(2020·贺州高二检测)如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A. B. C. D. 解析：选B.1＋sin θcos θ＝＝＝＝. 2．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则cos α＝_____. 解析：因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－， 所以＝－， 又sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝－. 答案：－ 探究点2　sin θ±cos θ型求值问题 　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， 求：(1)tan θ；(2)sin θ－cos θ. 【解】　(1)由sin θ＋cos θ＝， 得cos θ＝－sin θ. 又sin2 θ＋cos2 θ＝1， 代入得sin2 θ＋(－sin θ)2＝1， 整理得sin2 θ－sin θ－＝0， 即(sin θ＋)(sin θ－)＝0， 解得sin θ＝－或sin θ＝. 又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝. 所以cos θ＝－sin θ＝－ ＝－， 故tan θ＝＝－. (2)法一：由(1)可知， sin θ－cos θ＝－＝. 法二：因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， 又sin θ＋cos θ＝，两边平方， 整理得sin θcos θ＝－<0， 所以cos θ<0. 又(sin θ－cos θ)2＝ ... ...