15.1 分式 教学目标 1.了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2.能确定分式有意义的条件． 3.了解分式的基本性质，最简公分母的概念，会确定最简公分母. 4.掌握分式的约分，了解最简分式的概念． 5.能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想. 教学重点与难点 分式的性质及约分、通分． 从分数到分式 思考 填空： （1）长方形的面积为10cm2，长为7 cm，则宽为 cm；长方形的面积为 S，长为 a，则宽为 ． （2）把体积为200 cm3 的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，则水面高度为 cm；把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，则水面高度为 ． 思考 式子 以及引言中的式子 有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式．分数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A 与 B 都是整式，并且 B 中都含有字母． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式（fraction）．分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 分式是不同于整式的另一类式子．上面的 和 等都是分式．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．例如，分数 仅表示2÷3的商，而分式 既可以表示2÷3，又可以表示(－5)÷2，8÷(－9)等． 思考 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义． 例 1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （2） ； （4） . （3） ； （1） ； 解：（1）要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x≠0； （2）要使分式 有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； （3）要使分式 有意义，则分母5－3b≠0，即b≠ ； （4）要使分式 有意义，则分母 x－y≠0，即x≠y. 分式的基本性质 由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么 一般地，对于任意一个分数 ，有 其中a，b，c 是数. 思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 其中A，B，C是整式. 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变． 上述性质可以用式子表示为 例 2 填空： （1） ， ； （2） ， . 同样地，因为 的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，即 所以，括号中应分别填 x2 和 2x． 解：（1）因为 的分母 xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以 x，即 同样地，因为 的分母a2乘b才能化为a2b ，所以分子也需乘 b，即 所以，括号中应分别填 a 和 2ab－b2． （2）因为 的分母 ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘 a，即 思考 联想分数的约分，由例 2 你能想出如何对分式进行约分吗？ 与分数的约分类似，在例2（1）中，我们利用分式的基本性质，约去 的分子和分母的公因式3x，不改变分式的值，把 化为 ． 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分（reduction of a fraction）． 经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式（fraction in lowest terms）．同样地， 被约分成 ， 也是最简分式． 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式． 例3 约分： （1） ； （2） ； （3） . 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：（1） ； （2） ； （3） . 思考 联想分数的通分，由例 2 你能想出如何对分式进行通分吗？ 与分数的通分类似，在例2 （2）中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改 变分式的值，把 和 化成分母相同 ... ...
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