题型(一) 规律探索题 类型1 数式的变化规律 题型精讲 1.(2019·铜仁)按一定规律排列的一列数依次为： …(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_____.(n为正整数) 【思路分析】 规律探索题不论是数式类还是图形类，其发生变化的部分本质上都是数量变化，解决规律探索题要抓住以下几点： 1.找准“不变”与“变” “不变”，即观察数、式、图形中哪些地方没有变，如数中的底数，图形中某个局部；“变”，即观察数、式、图形中哪些地方在发生变化，如系数、基本图形的个数等. 2.找准发生变化的位置的变化规律 (1)常见的变化规律： 自然数数列规律：0，1，2，3，…，n－1(n≥1)； 正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)； 奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； 偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； 正整数平方数列规律：1，4，9，…，n2(n≥1). 还会出现正整数平方加1(或减1)型，奇偶交替型、后项等于前两项之和型等. (2)注意积累拆分技巧与求和公式： ①拆分技巧 ； ②正整数求和 ； ③奇数求和：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n≥1)； ④偶数求和：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1). (3)当正负号交替出现时，可用(－1)n或(－1)n＋1表示数字的符号. (4)当数字是分数或分数和整数结合时，先把这组数字中的所有整数写成分数，再分别推断出分子与分母的数字变化规律. 对点训练 1.如图是按一定规律排成的三角形数阵，按此数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( ) A.2 B. C.5 D. B 2.如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入k的值为125，则第2 021次输出的结果是_____. 1 3.(2019·滨州)观察下列一组数：a1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝_____.(用含n的式子表示) 4.(2019·安顺)如图，将从1开始的自然数按以下规律排列， 例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7 列的数是_____. 2 019 5.(2020·铜仁)观察下列等式： 2＋22＝23－2； 2＋22＋23＝24－2； 2＋22＋23＋24＝25－2； 2＋22＋23＋24＋25＝26－2； …… 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝_____ .(结果用含m的代数式表示) m(2m－1) 6.(2019·枣庄)观察下列各式： …… 请利用你发现的规律，计算： 其结果为_____. 类型2 图形的变化规律 题型精讲 2.如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是( ) A.71 B.78 C.85 D.89 D 【思路分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2＋1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3＋2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4＋3……则第n个图形共有小正方形的个数为(n＋1)2＋n，进而得出答案. 解答图形累加规律的方法： 第一步：标序号———按图号标序； 第二步：数图形个数———观察(计算)每个图中所求量的个数； 第三步：找规律———将后一个图形的个数与前一个图形个数进行对比，对求出的结果进行一定的变形(变换成与序数n有关的式子)，使其呈现一定的规律，得到第n个图形所求量的个数； 第四步：验证———代入序数验证所归纳的式子是否正确； 第五步：求出结果———将要求项序数代入关系式求得结果. 此类题常考的有四种类型：①基础图形固定累加；②基础图形递变累加；③图形个数局部累加；④图形个数分区域累加. 不管是哪种形式的累加，均可遵照上述方法，寻找规律做题. 对点训练 7.(2020·聊城)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图 表示，那么 ... ...
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