第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 菱 形的性质 学习目标 1.了解菱形及其与平行四边形的关系. 2.证明菱形的性质定理. 3.应用菱形的性质定理解决相关问题. 平行四边形的性质： 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补； 平行四边形的对角线互相平分； 矩形的性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形———矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？ 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 有一组 的 叫做 邻边相等 ∵四边形ABCD是平 行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 菱形. 平行四边形 D A C B 1、菱形是___ _的平行四边形， 它具有____ __ 的一切性质. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 2、菱形的特殊性质. （1）边：菱形的四条边都 ； （2）对角线：菱形的两条对角线 ， 并且每一条对角线 _____ ； （3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴 就是对角线所在的直线. 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ １、菱形是轴对称图形吗？ 2、菱形有几条对称轴？ 3、对称轴之间有什么关系？ 4、你能看出图中哪些线段和角相等？ 相等的线段： 相等的角： 等腰三角形有： 直角三角形有： 全等三角形有： A B C D O 1 2 3 5 6 7 8 4 思考 ： 如何证明菱形的性质？说一说你的证明思路. 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A A B C O D （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 对边相等 四个角都是直角 对角线互相 平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， 且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. O 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD. ∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2, AB=5cm，AO=4cm, ∴OB=3cm. ∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm. O 例3、 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后 两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ S菱形ABCD= AC · BD 菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积. C B D A O 练习 1.已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是____cm. 5 2.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝ 5，则△ABD的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 C B D A O 4.菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_____. 8cm2 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. S菱形= 对角线乘积的一半 1.菱形的 ... ...
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