第三章《圆》高分突破压轴专练（二） 1．如图①，在平面直角坐标系中，直径为2的⊙A经过坐标系原点O（0，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，）． （1）求点B的坐标； （2）如图②，过点B作⊙A的切线交直线OA于点P，求点P的坐标； （3）过点P作⊙A的另一条切线PE，请直接写出切点E的坐标． 2．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若△ABC的边长为4，求EF的长度． 3．如图，AB为⊙O的弦，AB＝OA． （1）如图1，求tanA； （2）如图2，CD为⊙O的弦，CD分别交OA、OB于点E、F，CD∥AB，求证：CE＝DF； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作OB的平行线交⊙O于点G，连接CG，EF＝4，DG＝11，求点O到直线CG的距离． 4．如图，△ABC内接于⊙O，点E为弦BC上的一点，CE＝CA，OE⊥BC，延长AE交⊙O于点D，连接BD、OE． （1）如图1，当AB为⊙O直径时，求证：BD＝OE； （2）如图2，求证：∠C+2∠DBC＝180°； （3）在（2）的条件下，如图3，作直径AH，连接HB、OD，若tan∠DOE＝，BC＝4，求BH的长． 5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延长线交直线l于点C，连结AB，AB＝AC． （1）直线AB与⊙O相切吗？请说明理由； （2）线段BC的中点为M，当⊙O的半径r为多少时，直线AM与⊙O相切． 6．如图PA、PB分别切⊙O于点A、B，线段PO交⊙O于点D，AO的延长线交⊙O于点C，过点P作PM∥AC交CB的延长线于点M． （1）求证：四边形POCM是平行四边形； （2）若△PAB为等边三角形，判断点A、D、M是否在同一条直线上并说明理由； （3）若线段PA、PD长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，求平行四边形POCM的面积． 7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，AD＝2，CD＝4．∠BCD的角平分线CE与过点B的切线l交过点E． （1）求⊙O半径的长； （2）求点E到直线BC的距离． 8．已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，⊙O分别与AB、AC相切于点B、点D，点F在CD上，连接OF交⊙O于点G，且G在BC上，∠AFO＝45°，过D作DH⊥BC于H，交⊙O于E，交OF于点N； （1）求证：∠FND＝3∠C； （2）射线BO交DE于M，求证：OM＝FG； （3）在 （2）条件下，连接BE，若由BC、DC和弧BD所围成图形的面积为π+﹣时，求四边形ABED的面积． 9．已知，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点M、N分别在线段OC、CD上，AM的延长线与射线ON相交于点E，与弦CD相交于点F． （1）如图1，若DN＝OM，求证：AM＝ON； （2）如图2，点P是弦CD上一点，若AP＝OP，∠APO＝90°，求∠COP的度数； （3）在（1）的条件下，若AB＝20，cos∠AOC＝，当点E在ON的延长线上，且NE＝NF时，求线段EF的长． 10．如图，⊙O与射线AM相切于点B，⊙O的半径为3．连结DA，作OC⊥OA交⊙O于点C，连结BC，交DA于点D． （1）求证：AB＝AD； （2）若OD＝1，求AB的长； （3）是否存在△AOB与△COD全等的情形？若存在，求AB的长，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）如图①，连接BC， ∵∠BOC＝90°， ∴BC是⊙A的直径， ∴， ∵， ∴． ∴OB＝＝3， ∴B（3，0）； （2）如图②，过点P作PD⊥x轴于点D， ∵PB为⊙A的切线， ， ∴． ∴∠OBC＝30°， ∴∠AOB＝30°． ∴∠OPB＝180°﹣∠POB﹣∠ABO﹣∠ABP＝30°． ∴OB＝BP＝3， 在Rt△PBD中，∠PDB＝90°，∠PBD＝60°，BP＝3， ∴，． ∵OB＝3， ∴． ∴； （3）由（2）得，∠OPB＝30°， ∵PE、PB是⊙A的切线， ∴∠EPA＝∠OPB＝30°， ∴∠EPB＝60°，又∠PBD＝60°， ∴PE∥OD， ∴． 2．（1）证明：如图1，连接OD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°． ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝60°． ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°． ∴∠EDC＝30° ... ...
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