第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线 课时2 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线 线段垂直平分线的作图及应用.（重点、难点） 学习目标 新课导入 线段的垂直平分线的性质与判定的内容是什么？ 新课讲解 知识点1 三角形三边的垂直平分线 例 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图,在△ABC中， 边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P， 且PA＝PB＝PC. 新课讲解 ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等）. 同理，PB ＝PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上）， 即边AC的垂直平分线经过点P. 证明： 新课讲解 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部 新课讲解 ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部 ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝_____． 38° 新课讲解 分析： 如图，连接OA， ∵O为AB，AC的垂直平分线的交点， ∴ OA＝OB＝OC. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6. ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠BAC＝52°. ∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2＋∠3＋ ∠4)＝180°－2×52°＝76°. ∴∠6＝ ×76°＝38°， 即∠OCB＝38°. 新课讲解 练一练 如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长. BE＝AE，AF＝CF. △AEF的周长为AE＋EF＋AF ＝BE＋EF＋FC＝BC＝2. 解： 新课讲解 知识点2 线段垂直平分线的作图及应用 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出 满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所 画出的三角形都全等吗？? (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺 规作出满足条件的一 个等腰三角形吗？ 新课讲解 用尺规作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：线段AB(如图)． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心， 以大于 AB的长为半径画弧， 两弧相交于点C和点D. ②作直线CD，直线CD就是线段 AB的垂直平分线(如图)． 新课讲解 例 典例分析 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图 (1),线段a，h. 求做：△ABC,使AB＝AC，且BC＝a，高 AD＝h. 新课讲解 作法： (1)作线段BC＝a (如图(2)). (2)作线段BC的垂直平分线l， 交BC于点D. (3) 在l上作线段DA使DA＝h. (4)连接AB，AC. △ABC为所求的等腰三角形. 新课讲解 例 典例分析 如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M的位置． 新课讲解 解： 如图，作法：①以P为圆心，以适当的长度为半 径画弧，交直线AB于C，D两点． ②作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M，M点 就是所求作的点． 新课讲解 练一练 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②， 交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H. 下列叙述正确的是( ) A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD A 课堂小结 1．三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫 做三角形的外心(三角形外接圆的圆心，以后即可学 到)． 2．几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况： (1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部； (2)直角三角形三边垂 ... ...
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