中小学教育资源及组卷应用平台 专题05 勾股定理证法及其应用 1. 欧几里得证明方法 证明：S1+S2=S3； 如图：证明△ABF≌△ADE→S△ABF=S△ADE→2 S△ADE =S长方形AENM=S正方形ABCD=2 S△ABF 同理，SMNPF=S1 故S1+S2=S3 2. 如图，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°，得到长方形A’BC’D’. 其中：AB=a，AD=b，BD=c.21 cnjy com 连接BD、BD’、DD’. 在△DCB和△BA’D’中， ∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°， BC=A’D’ ∴△ABD≌△C’D’B ∴BD=BD’ ，∠DBC=∠A’D’B ∵∠A’BD+∠A’D’B=90° ∴∠DBD’=90° 即△DBD’为等腰直角三角形. 由题意可知： 即： 化简得： 毕达哥拉斯图形还有其它几种变形，如图所示. 3. 赵爽弦图 证法如下： 大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积 即：. 化简得：. 4. 证法如下： . 化简得：. 5. 总统证明法 证法如下： 梯形面积等于三个直角三角形的面积和. 即： 化简得： 5. 几个含特殊角三角形的结论 图 形 结 论 【题型一】勾股定理证明方法 【例1－1】（2020·广东佛山市月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 图① （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． 图② （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？21·cn·jy·com 图③ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）梯形ABCD的面积=， 也可以表示为， ∴， 整理得：a2+b2=c2； （2）∵CA=x， ∴AH=x-0.9， 在Rt△ACH中，AC2=CH2+AH2， 即x2=1.22+（x-0.9）2， 解得：x=1.25，即CA=1.25， CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），新路CH比原路CA少0.05千米； （3）设AH=x，则BH=6-x， 在Rt△ACH中，CH2=AC2-AH2,， 在Rt△BCH中，CH2=BC2-BH2， ∴AC2-AH2=BC2-BH2， 即42-x2=52-（6-x）2， 解得：x=2.25． 【例1－2】（2020·河南南阳市期末）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个关的正方形（如图1），这个长方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式．称为勾股定理． （1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程；21教育名师原创作品 （2）如图3所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析. 【解析】（1）证明：大正方形面积为： ab×4+c2=（a+b）2 整理得a2+b2=c2； （2）过A作AF⊥AB交BC于D 易证△ABC≌△CED， ∴DE=BC=a，CD=AB=b， ∴S梯形EDBA=2×ab +c2 ∴（a+b）2=2×ab +c2 ∴a2+b2=c2． 【变式1－1】（2020·景县期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． （探究1） （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；【出处：21教育名师】 （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明 ... ...
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