2020_2021学年高中数学第二章推理与证明学案含解析（5份打包）新人教A版选修2_2 Word版

2.3　数学归纳法 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 提升数学运算增强逻辑推理拓深直观想象 授课提示：对应学生用书第44页 [基础认识] 知识点　 1．对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.试验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？ 提示：成立． 2．能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？ 提示：不能，上面的等式只对n取1到50的正整数成立． 　知识梳理　(1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )时命题成立； ②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N )时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法的框图表示 思考：1.数学归纳法中两个步骤的作用及关系是怎样的？ 提示：步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步骤②，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②就没有意义了． 2．试体会数学归纳法与归纳推理的区别与联系． 提示：区别：归纳推理是一种推理方法，作用是提出猜想，但是不能确定猜想是否正确；数学归纳法是一种演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的证明过程． 联系：与正整数有关的命题，一般需要先由归纳推理得出猜想，再用数学归纳法证明猜想是正确的；用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且步骤(2)中必须用到归纳假设． [自我检测] 1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　) A．1＋a B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 解析：等式“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依次递增．当n＝k时，最高次数为(2k＋1)次，用数学归纳法证明，在验证n＝1时，左端的计算所得项为1＋a＋a2＋a3. 答案：C 2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N )的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N )时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n∈N ，等式都成立． 上述证明，错误是_____． 解析：本题中第二步假设n＝k时等式成立，证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用假设条件，这与数学归纳的要求不符． 答案：未用归纳假设 授课提示：对应学生用书第44页 探究一　用数学归纳法证明等式 [例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N )． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N )时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N 都成立． 方法技巧　用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． 跟踪探究　1.求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N )． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝， ... ...