2011年全国181套中考数学试题分类解析汇编(62专题）专题61押轴题(1）

登陆21世纪教育 助您教考全无忧 2011年全国181套中考数学试题分类解析汇编(62专题） 专题61：押轴题(1） 锦元数学工作室 编辑 解答题 1.（北京8分）如图，在平面直角坐标系O中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离； （2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围； （3）已知AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标的取值范围． 【答案】解：（1）连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1。 ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°。∴BD⊥AD。 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=。∵AE∥BF， ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为。 （2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时， b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1； 当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜ （3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论： ①当点M在射线AE上时，如图2． ∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方。 ∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合。 ∴0＜PQ＜。 ∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜。∴﹣2＜＜﹣1。 ②当点M不在弧AD上时，如图3， ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。 ③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF， 当点M在弧DR上时，如图4， 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点． ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。∴0≤＜。 当点M在弧RB上时，如图5， 直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形。 ④当点M在射线BF上时，如图6， 直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。 综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜＜﹣1或0≤＜。 ( http: / / www.m / ) 【考点】一次函数综合题，勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理。 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离。 （2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。 （3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。 2.（天津10分）已知抛物线：．点F(1，1)． (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标； (Ⅱ) ①若抛物线与轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证： ②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值． 【答案】解： (I)∵，∴抛物线的顶点坐标为()． (II)①根据题意，可得点A(0，1)， ∵F(1，1)．∴AB∥轴．得 AF=BF=1， ②成立．理由如下： 如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则 FM=，PM=（）。 ∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 又点P（）在抛物线上，得， 即 ∴，即。 过点Q（）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N， 同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ， ∴△PMF∽△QNF。 ∴，这里，。 ∴，即。 (Ⅲ) 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<， ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大， ∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。 ∴当时．所对应的即为m的最大值。 ∴将带入， 得。 解得或（舍去）。 ∴。此时，， ... ...