21世纪教育网 –全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台 北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明 1.4 角平分线 第1课时 角平分线1 【知识清单】 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【经典例题】 例题1、如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论不一定成立的是( ) A. PA=PB B. OA=OB C. PO平分∠APB D. AB垂直平分OP 【考点】线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 【分析】由OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB， 根据角平分线的性质，可证得PA=PB，又由等腰 三角形的判定，可证得OA=OB，即可判定PO平 分∠APB，根据线段垂直平分线的判定， 可得OP垂直平分AB． 【解答】∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB， ∴PA=PB，故A正确； ∴∠PAB=∠PBA， ∵∠OAB=90°∠PAB，∠OBA=90°∠PBA， ∴∠OAB=∠OBA， ∴OA=OB，故B正确； ∴PO平分∠APB；故C正确； ∵PA=PB，OA=OB， ∴点P在AB的垂直平分线上，点O在AB的垂直平分线上， ∴OP垂直平分AB，故D错误．故选D． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．注意掌握线段垂直平分线的判定的应用是关键． 例题2、已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是AC上一点，若AD︰DC=1︰． 求证：BD平分∠ABC． 【考点】角平分线的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理． 【分析】过D作DE⊥BC，由∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，所以△DEC是等腰直角三角形，DE=CE，设AD=a，则DC=a，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，2DE2=(a)2，可得DE=a，所以AD=ED，在利用角平分线的判定定理即可求证． 【解答】过D作DE⊥ BC于E， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴DE=CE， 设AD=a，则DC=a， 在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2， 即：2DE2=(a)2， 解得DE=a， ∴AD=ED， ∴BD平分∠ABC． 【点评】此题考查了角平分线判定，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线判定是解本题的关键． 【夯实基础】 1、如图，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP从而得∠CAP=∠BAP根据是( ) A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 2、如图，在△ABC?中，AP?是∠BAC?的平分线，PM⊥AB?交AB?于点M，PN⊥AC?交AC?于点 ? N，若?S△ABC=34，?DE=4，AB=7，则AC?的长为( ) ?A．9 ?B．10? C．12? D．14? 3、如图，AB∥CD，PD平分∠ADC，PA平分∠BAD，PD与PA相交于P，PE⊥AD于点E， 若PE=2.则?直线AB与CD的距离为( ) ?A．2? B．3 ?C．4 ?D．6 4、如图，AP是∠BAC的平分线，点D是AC上一点，DP∥AB，若AD=6，则点P到AB的距离是 ( ) A．3 B．6 C． D． 5、直角三角形两锐角平分线所成的钝角等于 . 6、如图，在Rt△ABC?中，∠ACB=90°，AD?平分∠BAC?交?CB?于点D，DE⊥AB?于点E，CF∥DE? 交AD?于点F．则CF DE(填“>”“=”“<”)． 7、已知：如图，△ABC中，AB=AC，CD为∠ACB的平分线，∠BDC=3∠A，则∠A的度数是 . 8、如图，已知BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BF，CE相交于点D，若BD=CD． 求证：点D在∠BAC的平分线上． 9、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，交BC于点E，求证：△DEC的周长=BC． 【提优特训】 10、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC?于F，G为AD上任意一点， 则下列结论错误的是( ) A．DE=DF B．GE=GF C．AE=AF D．BD=DC ? ? 11、如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD=5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是( ) A ... ...
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