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课件网) 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 沪科版·八年级数学下册 上课课件 第17章 一元二次方程 学习目标 【知识与技能】 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用; 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题. 【过程与方法】 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. 【情感态度】 1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神. 【教学重点】 根与系数的关系及其推导. 【教学难点】 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系. 新课导入 探究 你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系： 新课探究 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2 + 2x – 15 = 0 3x2 – 4x + 1 = 0 2x2 – 5x + 1 = 0 –5 3 –2 –15 1 3 1 4 3 1 3 5 2 1 2 猜想：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根如果是 x1、x2，那么 x1+x2 =_____，x1x2 =_____. 你能证你的猜想吗？ 我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为 所以 x1 + x2 = + = = x1x2 = · = = 如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2， 那么 x1 + x2 = ， x1x2 = . 韦 达 定 理 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q. 练习 不解方程，求下列方程两根的和与积. x2 – 3x = 15； 5x2 – 1 = 4x2 + x 解：x1 + x2 = 3 x1x2 = –15 解：化简得 x2 – x – 1 = 0 x1 + x2 = 1 x1x2 = –1 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 解 设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 想一想 本题还有别的解法吗？ 解 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 解得 例 2 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值. 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = . （x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2 ∴ x1 – x2 = 引申：若 ax2 ? bx ? c ? 0（a ? 0 ? ? 0） （1）若两根互为相反数，则 b ? 0； （2）若两根互为倒数，则 a ? c； （3）若一根为 0，则 c ? 0； （4）若一根为 1，则 a ? b ? c ? 0； （5）若一根为 ?1，则 a ? b ? c ? 0； （6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根. 随堂演练 1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1+ ，x2 = 1 – ，则 p = ，q= . 2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，则另一根是 ， k＝ . –2 –1 –7 3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6 解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 2 解：化简得 x2 – 4x – 6 = 0 x1 + x2 = 4 x1x2 = – 6 4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值： （1） ；（2） . 解：∵ x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根. 则 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 . 5. 已知关于 x 的方程 x2 –（2m + 3）x + m2 = 0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值. 解：设方程 x2 – （2m + 3）x + m2 = 0 的两根为 x1，x2. ∴ x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2. 根据题意得 m2 = 2m +3，解得 m1= 3，m2 = – 1. 当 m = 3 时，原方程为 x2 – 9x + 9 = 0， b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有实数根. 当 m = –1 时，原方程为 x2 – x + 1 = 0， b2 – 4ac = – ... ...
