第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 素养要求 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 直观想象 2.体会向量在处理平面几何问题、力学问题中的作用，培养运用向量知识解决实际问题的能力 数学建模 | 自学导引 | 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用_____表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_____． (2)通过_____研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 向量方法在平面几何中的应用 向量 向量问题 向量运算 【答案】(1)C (2)A (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的_____运算． (4)功是____与_____的数量积． 向量在物理中的应用 数乘 力F 所产生的位移s 【预习自测】 力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是_____． 【答案】－11 【解析】由题意知W＝F·s＝(－1)×3＋(－2)×4＝－11. | 课堂互动 | 题型1 向量在平面几何中的应用 素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养． 【答案】(1)C 【例题迁移2】 (变换条件、变换问法)将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． (1)一艘船以5 km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为_____km/h； (2)如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量)． 题型2 向量在物理中的应用 素养点睛：本题考查了数学建模的核心素养． 利用向量解决物理问题的思路及注意点 (1)向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象． (2)在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路． (3)注意：①如何把物理问题转化为数学问题，也就是将物理之间的关系抽象成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． 2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝_____J. 【答案】300 【解析】W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J)． 易错警示 三角形的“四心”的概念混淆不清致误 错解：A、B、D 易错防范：对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等． | 素养达成 | 1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明(体现数学运算和直观想象的核心素养)． 2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象． 【答案】D 4．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河 ... ...
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