1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线 课件（共20张PPT）

数学北师大版 八年级下 1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P作三边的垂线，垂足分别是点D,E,F. 求证：求证角A的平分线过点P,且PD=PE=PF 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.∴点P在角A的平分线上,即三条角平分线相交于一点 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 求证:三条角平分线相交于一点,且这点三条边的距离相等 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 练习.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A B C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. 解：连接OC M E N A B C P O D 例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解:点P在∠AOB的平分线上. 理由如下:过点P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E. ∵S四边形OMPG=S四边形OFPN, ∴S四边形OMPG-S四边形OMPF=S四边形OFPN-S四边形OMPF, 即S△FPG=S△MPN. ∵FG=MN,∴PD=PE. 又PD⊥OA,PE⊥OB, ∴点P在∠AOB的平分线上. 例3　如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由. 习题1.10 1.证明∵∠C=90°,∠B=30°, ∴∠BAC=60°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC=∠BAD=30°. ∵∠B=30°, ∴∠BAD=∠B=30°. ∴BD=AD. ∵∠C=90°,∠DAC=30°, ∴AD=2CD.∴BD=2CD. 2.证明如图所示,过点F作FG⊥AD,FH⊥AE,FI⊥BC. ∵BF是∠DBC的平分线,∴FG=FI. 同理,FH=FI.∴FG=FH. ∴点F在∠DAE的平分线上. 3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD. 又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP. ∴OC=OD. (2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP, ∴OP是CD的垂直平分线. 4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点(A除外)都满足到AB,AC的距离相等,可以修建油库. (2)如图,作∠BAC的角平分线,作∠BCA的角平分线,两角平分线交于一点P,P点是修建油库的位置. 1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.? 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三边距离的常用方法. 　 归纳总结 1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于点P,PD⊥ AC于点D,PH⊥BA于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5cm,求点P到直线BC的距离;(2)求证:点P在∠HAC的平分线 ... ...