3.3 方差和标准差 1.了解方差、标准差的概念； 2.会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表 示数据的离散程度； 3.能用方差分析和解决一些实际问题 重点：方差的概念生成和计算 难点：对方差公式的理解，方差如何表示数据的离散程度。 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 成绩（环） 射击次序 ⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； 教练的烦恼 ？ ⑵ 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手 参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较 适宜？为什么？ 谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？ 甲每次射击成绩与平均成绩的偏差的和： 乙每次射击成绩与平均成绩的偏差的和： （7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）= （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）= （10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2= ？ （7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2= ？ 0 0 怎么办？ 甲每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 乙每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 2 16 想一想 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ———与射击次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差. 在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的 波动越大,越不稳定. S2= [(x1－ )2＋ (x2－ )2 ＋…＋ (xn－ )2 ] 1 n 一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数 练一练： 小明和小聪最近5次数学测验的成绩如下 （单位：分） 小聪：76、84、80、87、73； 小明：78、82、79、80、81； 哪位同学的成绩比较稳定？ 例题： 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中 抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16； 问：哪种小麦长得比较整齐？ X甲＝ （cm） X乙＝ （cm） S2甲＝ （cm2） S2乙＝ （cm2） 因为S2甲< S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。 解: 数据的单位与方差的单位一致吗？ 为了使单位一致，可用方差的算术平方根： S = [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ] 来表示，并把它叫做标准差. 标准差越小,波动越小,越稳定. 特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据 都没有偏差，即每个数都一样 。 做一做： (1)一个样本的方差是 则这个样本中的数据个数是____，平均数是____ 100 8 (4)数据1、2、3、4、5的方差是_____,标准差是____ 2 (3)某样本的方差是9，则标准差是_____ 3 S2= [(x1－ 8 )2＋ (x2－8 )2 ＋…＋ (x100－8 )2 ] (2)甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数x甲 = x乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲———S2乙。 < 探索发现 已知三组数据（1）1、2、3、4、5； （2）11、12、13、14、15和（3）3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。 2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？ 想看一看下面的问题吗？ 平均数 方差 标准差 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 3 2 2 13 2 2 2 3 9 18 请你用发现的结论来解决以下的问题： 已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y,标准差为 。 则 ①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为--，方差为--， 标准差为--。 ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 --，方差为--， 标准差为--。 ③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为--，方差为--， 标准差为--。 ④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 --， 方差为--，标准差为--。 反思提高 X+3 Y X-3 Y 3 ... ...
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