5．2 菱形（二） 菱形的判定 ①有一组边相等的平行四边形是菱形。（定义） ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 一、用菱形的定义判定菱形 1．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，BE＝DF.求证：四边形ABCD是菱形． 图1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AB＝AD， 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形． 二、四条边相等的四边形是菱形 2．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是__测量四条边是否相等，若相等则是菱形__． 3．如图2，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别为AB，BC边的中点，求证：四边形BDEF为菱形． 图2 证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴BD＝DE＝BE，∠A＝∠C＝60°， ∵点E，F分别为AB，BC边的中点， ∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF＝EF＝BE，∴BD＝DE＝BF＝EF， ∴四边形BDEF为菱形． 三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．下列命题正确的是( D ) A．对角线互相平分的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 5．如图3，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( C ) 图3 A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 6．如图4，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件：__BO＝DO(答案不唯一)__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 图4 7．如图5，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AC＝4，BD＝2.求证：四边形ABCD是菱形． 图5 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝1. 在△AOB中，AB2＝5，AO2＋BO2＝22＋12＝5， ∴AB2＝AO2＋BO2，∴△ABO为直角三角形，即AO⊥BO， ∴四边形ABCD是菱形． 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( C ) A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直 2．如图5－2－13，△ABC中DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D ) 图5－2－13 A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， 要使四边形DBFE是菱形，则添加邻边相等即可， 由BE平分∠ABC，得∠DBE＝∠EBF， 又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBF， ∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB， ∴四边形DBFE是菱形．故选D. 3．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( C ) 【解析】 A．由作图可知AC垂直平分BD，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确； B．由作图可知AB＝BC，AD＝AB，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确； C．由作图可知AB，CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误； D．由作图可知对角线AC平分对角，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确．故选C. 4．如图5－2－14，在?ABCD中，添加一个条件__AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)__，使?ABCD是菱形． 图5－2－14 5．如图5－2－15，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__(写出一个即可)． 图5－2－15 【解析】 由题意，可得四边形CBFE是平行四边形，当CB＝BF或BE⊥CF时，都可以得出四边形CBFE为菱形． 6．如图5－2－16，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB， ... ...
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