中小学教育资源及组卷应用平台 决胜2021年中考数学压轴题全揭秘专题2方程（组）与不等式（组） 考点1一元二次方程 ★题型一：一元二次方程及根的定义 【例1】（2021?南沙区模拟）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1， ∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024．故答案为：2024． 【变式1-1】（2021?简阳市模拟）若方程x2﹣4x+k＝0与方程x2﹣x﹣2k＝0有一个公共根，则k的值应是 ． 【分析】如果设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2﹣4x+k＝0的两根为α、4﹣α；方程x2﹣x﹣2k＝0的两根为α、1﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（4﹣α）＝k①，α（1﹣α）＝2k②．联立①②，即可求出α、k的值． 【解答】解：设这个公共根为α． 则方程x2﹣4x+k＝0的两根为α、4﹣α；方程x2﹣x﹣2k＝0的两根为α、1﹣α． 由根与系数的关系有：．解得 或． 所以当k＝0或3时，两个方程有一个公共根．故答案是：0或3． 【变式1-2】（2021?广陵区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标为（﹣1，），且知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是2.5，则另一个根是 ． 【分析】由抛物线的顶点坐标得出对称轴x＝﹣1，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），解得x的值即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标为（﹣1，）， ∴抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是2.5， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（2.5，0）， 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0）， ∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，∴1，解得：x＝﹣4.5， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣4.5，0）． ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根是﹣4.5；故答案为：﹣4.5． 【变式1-3】（2021?乐至县模拟）若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可． 【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得，a＝﹣3，故答案为：﹣3． 【变式1-4】（2021?铁锋区模拟）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值是 ． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x＝1代入方程求解可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得到（m﹣2）+4﹣m2＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， ∵m﹣2≠0∴m＝﹣1，故答案为：﹣1． 【变式1-5】（2021?麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为 ． 【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1， 则2020a﹣1﹣2019aa﹣111＝2019．故选：值为2019． ★题型二：一元二次方程根的判别式及韦达定理 【例2】（2021?郧西县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+3）x+a2+2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）设方程两根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝x1x2+55，求a的值． 【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝4（a+3）2﹣4（a2+2）≥0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a+3），x1x2＝a2+2，把x12+x22＝x1x2+55变形为（x1+x2）2﹣3x1x2﹣55＝0，则4（a+3）2﹣3（a2+2）﹣55＝0，然后解关于a的方程，最后利 ... ...
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