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课件网) 菱形的判定 一个角 是直角 平行四边形 矩形 复 习 思 考 看图说定义 1 一组邻边相等 菱形 把矩形和菱形的性质填入下表： 2 图形 项目 矩形 菱形 边和角 对角线 对称性 四个角都是直角 对角线互相平分 A B D C O A O B C D 四条边都相等 对边平行且相等，对角相等 对角线相等 对角线互相垂直 既是中心对称图形，也是轴对称图形 对称轴为经过两组对边中点的直线. 对称轴为两条对角线所在的直线. 四边形 + 三个角是直角 对角线互相平分且相等 + 一个角是直角 平行四边形 对角线相等 矩形 矩形的判定方法有哪些？ 3 如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？ 图2-52 怎样判定一个四边形是菱形呢？ 学 习 新 课 动脑筋① 下面我们来证明这个结论. ∵ AD=BC， AB=DC， 如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ 四边形ABCD是菱形. 图2-53 又 AB=AD， 四条边都相等的四边形是菱形. 由此得到菱形的判定定理1： 已知：如图2-54，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 图2-54 例6 证明 ∵线段BD垂直平分AC ， ∴ BA=BC，DA=DC，OA=OC. 在△AOB和△COD中， ∵ ∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC. ∴ △OAB≌△OCD. ∴ AB=CD. ∴ 四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). ∴ BA=BC=DA=DC. 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 图2-55 动脑筋② 过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55. 图2-55 如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？ 图2-55 我们来进行证明. 在□ABCD中，AC⊥BD，OA=OC， ∴DB所在直线是AC的垂直平分线. ∴ DA=DC. 图2-55 ∴ □ABCD是菱形. 由此得到菱形的判定定理2： 图2-56 如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5. 求AB的长. 例3 分析 根据平行四边形对角线互相平分求出OA，OD，则可用勾股定理的逆定理证明△AOD 为直角三角形，从而AC⊥BD，□ABCD为菱形. ∴ AB=AD=5. 解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ □ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). ∴ 又 ∵ AD=5，满足AD?=OA?+OD?， 图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm. 提示：作一条线段长为4cm，再作该线段的垂直平分线，以垂足为圆心在垂线上两旁各取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相邻，所成四边形则为所求的菱形. 练习 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N .求证：四边形BNDM是菱形. 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ MD∥BN， ∠ADB=∠CBD， ∠DMN=∠BNM， OB=OD. ∴ △ODM≌△OBN. ∴ NB=MD. 又 MD∥BN，MN⊥BD， ∴ 四边形BNDM是菱形. 反 思 总 结 四边形 + 四条边相等 对角线互相垂直平分 + 一组邻边相等 平行四边形 对角线垂直 菱形 ... ...
