中小学教育资源及组卷应用平台 专题9.7 抛物线课时训练 【基础巩固】 1．（河北省承德一中2019届调研）过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以p＝2. 2．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4.由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，所以|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4. 3.（天津耀华中学2019届模拟）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为( ) A. B．1 C. D．2 【答案】B 【解析】如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时，等号成立)，所以dmin＝1，即点M到y轴的最短距离为1. 4.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为_____． 【答案】 (2)4 【解析】 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.故|PB|＋|PF|的最小值为4. 5.（湖南株洲二中2019届模拟）已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则＋的最小值为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. 所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9. 6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 7.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有， ∴，，， ∴. 故选D. 8.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_____． 【答案】(1,0) 【解析】 由题意知抛物线开口向右，且a＞0，当x＝1时，y＝±2，所以4＝4，即a＝1，所以抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)． 9．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____． 【答案】 【解析】设点 M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝. 10．（山西省朔州一中2019届期中）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____． 【答案】x＝－ 【解析】如图所示，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，令y＝0，得x＝，即F，所以准线方程为x＝－. 11．（黑龙江省哈尔滨三中2019届质检）已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值为_____． 【答案】2 【解析】如图，抛物线焦点F(0，－1)，抛物线的准线方程为y＝1，设点P到准线距离为d，则|y|＋|PQ|＝d－1＋ ... ...
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