第十讲 计数之加乘原理与技巧 917575198120本讲内容非常有趣，不过要在计数过程中达到“不重不漏”，必须掌握计数问题的原理与一些技巧才行。在小升初的考试与其它的竞赛活动中，计数问题出现频率很高。 本讲内容非常有趣，不过要在计数过程中达到“不重不漏”，必须掌握计数问题的原理与一些技巧才行。在小升初的考试与其它的竞赛活动中，计数问题出现频率很高。 教学目标 教学目标 回顾分类枚举与排列组合； 精讲计数问题的经典范例。 专题回顾 专题回顾 排列 最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决． 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足： 它们所含的元素均相同； 它们的顺序也一样． 一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作：false(m≤n)． 从n个元素中取出m个元素排成一排，有多少种排法，是从n个元素中取出m个元素的排列数．这个问题可以看成有m个位置，从n个元素中取m个元素放到m个位置中，可分m个步骤： 第①步：第1个位置有n种选择； 第②步：第2个位置有n-1种选择； 第③步：第3个位置有n-2种选择； …… 第m步：第m个位置有n-m+1种选择． 由乘法原理：false n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．———乘积中共有m项 特别地，当m=n时， false叫做n个元素的全排列数． 1×2×3×…×n称为n的阶乘，记作n!因此false (m≤n)． 排列数乘积形式的公式：false =n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)． 排列数阶乘形式的公式： false (m≤n)． 组合 有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序． 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出，n个元素的组合． 从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合总数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作false (m≤n)．从n个元素中取出m个元素的排列问题可以看成分两步完成： 第①步：从n个元素中取出m个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n个元素中取出m个元素的组合数false； 第②步：对取出的m个元素进行排列，排法数就是falsefalse． 由乘法原理可知：falsefalse，因此，false． 将排列数公式代人得：false或 false. 分类枚举 分类用加,分步用乘 ★★★ 方格纸上有一只小虫，从直线AB上的一点O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行．方格纸上每小段的长为1厘米．小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点．如果小虫一共爬过2厘米，那么小虫的爬行路线有____种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有___种． ★★★ 有6个木箱，编号为1、2、3、…、6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好：先挖开1,2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共 种。 （A）120 （B）180 （C）216 （D）240 加乘原理 ★★★ 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。 （A）48 （B）72 （C）96 （D）120 专题精讲 专题精讲 倒推法 ★★★（清华附中入学考题） 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 标数法 ★★★（人大附中分班考试题目） 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他 ... ...
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