凸多邊形各邊中點連線所圍的面積 王文光 摘要: 本文借助於 GSP 套裝軟體所提供的環境, 觀察凸 n 邊形各邊中點連線 所圍成區域面積與原來凸 n 邊形面積之比值。 我們得到如下的結論: 當 n = 3 時, 該值為 1/4; 當 n = 4 時, 該值為 1/2; 當 n = 5 時, 該值介於 1/2 和 3/4 之間; 當 n ≥ 6 時, 該值介於 1/2 和 1 之間。 在國中數學課本中, 我們知道三角形、 四邊形各邊中點連線所圍成面積與原來面積的比值, 分別為 1/4 和 1/2。 在本文裡, 我們擬針對凸五邊形及其他凸 n 邊形, 探討是否也有類似的固 定比值 如果沒有, 是否有其他的關係呢 為對任意多邊形更進一步探討此一關係, 我們先利 用 GSP 軟體, 進行一般的觀察, 瞭解其中的關係, 並進行驗證。 1. 三角形、 四邊形的情形 首先重溫三角形、 四邊形的性質, 來進行瞭解, 如圖一、 二所示, 作為進一步觀察五邊形的 情形的預備工作。 圖一 圖二 定理一: 在 △ABC 中, 若 E、 F 、 G 分別為 AB、 AC、 BC 的中點, 則 1. EF 平行 BC 且 EF = BC/2; 2. △EFG = 1△ABC。 4 41 42 數學傳播 28卷4期 民93年12月 證明: . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。 定理二: 在任意四邊形 ABCD 中, E、 F 、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 AD 的中點, 則 1. 四邊形 EFGH 為平行四邊形; 2. EFGH = 1ABCD。 2 證明: . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。 2. 五邊形的情形 我們利用 GSP 檢驗五邊形的各邊中點連線所圍成面積與原來五邊形面積的比值。 如圖 三、 四所示, 可以看出其比值分別為0.65和0.69, 並非定值。 圖三 圖四 然而該比值會不會落在某一範圍之內呢 由圖五、 六的觀察, 將 A 和 B 兩點, 往 CE 中 點移動時, 我們觀察到越靠近, 該比值越靠近 1/2; 當 A 與 B 落在 CE 的中點時, 我們觀察 到其比值恰好為 1/2。 圖五 圖六 在凸五邊形 ABCDE 內, 如圖七所示虛線所成的五角星形面積與其內部所圍五邊形 KLMNO 面積皆為正數。 如圖八, 當點 C、 D 落在線段 BE 上, 且讓 C、 D 兩點無限接近時, 五角星形 面積與五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積兩者皆為0, 於是得到該比值的下限 1/2。 仿 得到下界 1/2 的模式, 利用下面的圖形, 針對該比值的上界進行觀察。 如圖九, 將 A 與 B 分 凸多邊形各邊中點連線所圍的面積 43 別往 C 與 E 移動時, 我們可得恰好移到點上時其比值上限會等於 3/4。 又如圖十, 當點 C、 D 分別趨近點 B、 E 時, 五角星形面積極為接近五邊形 ABCDE 的面積, 五角星形內部所圍五 邊形 KLMNO 面積則接近0, 於是得到比值上限 3/4。 圖七 圖八 圖九 圖十 我們於是預測下述不等式 凸五邊形面積各邊中點連線所圍成面積 1/2 ≤ < 1, 原來凸五邊形面積 並將利用面積分割的方法, 證明上述觀察所得到的不等式的確成立。 定理三: 五邊形 ABCDE 中, F 、 G、 H、 I、 J 分別為 AB、 BC、 CD、 DE、 AE 的 中點, 則 1. 五邊形 FGHIJ 的面積 = ABCDE/2 + (△ACD + △BDE △CDE)/4, = (五邊形 ABCDE 的面積)/2 +(五角星形面積 + 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4; 2. 1/2 < 凸五邊形面積各邊中點連線所圍成面積 < 3/4。 原來凸五邊形面積 證明: 因為 五邊形 FGHIJ 的面積 = 五邊形 ABCDE 的面積 (△FAJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF ); 44 數學傳播 28卷4期 民93年12月 若將 (△FAJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF ) = (△BAE + △AED + △EDC + △DCB + △CBA)/4, = (2倍五邊形 ABCDE 的面積 五角星形面積 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/2, 代入上式, 得 五邊形 FGHIJ 的面積 = 五邊形 ABCDE 的面積/2 +(五角星形面積 + 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4。 . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . ... ...
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