19．2 一次函数 19．2.1 正比例函数 教学目标 【知识与技能】 1．初步理解正比例函数的概念及其图象的特征． 2．能够画出正比例函数的图象． 3．能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系． 4．能够利用正比例函数解决简单的数学问题． 【过程与方法】 1．通过实例，体会建立数学模型的思想． 2．通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想． 【情感态度】 结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度． 【教学重点】 正比例函数的概念、图象与性质． 【教学难点】 正比例函数的特征． 教学过程 一、情境导入，初步认识 请学生预习、自学教材，并讨论课本“思考”的问题． 【答案】(1)l＝2πr； (2)m＝7.8V； (3)h＝0.5n； (4)T＝－2t. 观察这些解析式有什么共同特点？由学生讨论，教师总结． 一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 请学生列举日常生活中的正比例函数的模型，举例如下： (1)利率不变的情况下，利息随存款数的变化而变化． (2)某本书的单价不变，销售额随售出图书数量的变化而变化． (3)火车速度不变，行驶距离随时间的变化而变化． (4)单位千克邮价不变，邮费随邮包重量的变化而变化． 【例1】已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值． 【分析】联想正比例函数定义可知，应考虑k＋1≠0，k－1＝0，综合可得k＝1. 【教学说明】 这类问题看三点：(1)自变量的最高次数为1；(2)含自变量x的系数k≠0；(3)常数项为0，三者必须同时满足． 【例2】根据下列条件求函数的解析式． (1)y与x2成正比例，且x＝－2时，y＝12. (2)函数y＝(k2－4)x2＋(k＋1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小． 【分析】(1)根据正比例函数的定义，可设y＝kx2，再将x＝－2，y＝12代入求得k值；(2)注意题中要求及式子特点，结合定义与性质考虑． 解：(1)设y＝kx2(k≠0)，把x＝－2，y＝12代入得(－2)2·k＝12，∴k＝3，即y＝3x2. (2)由题意得：k2－4＝0，∴k＝2或k＝－2.又∵y随x的增大而减小，∴k＋1＜0，故k＝－2，即y＝－x. 【教学说明】 (2)中含有自变量x的二次方，由题意知解析式应不含二次项，故令其系数为0. 二、思考探究，获取新知 师生共同画出y＝x，y＝－x的图象，并鼓励学生探索图象特征，引导学生围绕以下几个方面归纳结果： (1)两图象都是经过原点的直线． (2)函数y＝x的图象从左向右递增，经过一、三象限． (3)函数y＝－x的图象从左向右递减，经过二、四象限． 教师总结正比例函数的图象与性质： 一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 【例1】已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式． 解：设正比例函数的解析式为：y＝kx.把(2m，3m)代入得3m＝k·2m，解得k＝，∴这个正比例函数的解析式为y＝x. 【教学说明】 正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解析式． 【例2】已知(x1，y1)、(x2，y2)是直线y＝－x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是( A ) A．y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝ y2 D．不能比较 【分析】因为y＝－x中－＜0，即直线y＝－x的函数值是随x的增大而减小的，所以当x1＞x2时，y1＜y2，故选A. 【教学说明】 通常我们在x的某一范围内取x1＜x2，若点(x1，y1)，(x2，y2)为函数图象上的两点，当y1＜y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而增大；当y1＞y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而减小． 三、运用新知，深化理解 1．已知正比例函数y＝(k＋3)x. (1)k为何值时，函数的图象经过一、三象限； (2)k为何值时，y随x的增大而减小； (3)k为何值时，函数 ... ...
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